في هذه الصفحة سوف اقدم لك تمرين عن درس الخطوات الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الدقيقة "Exact equations" موضحا فيها كافة طرق الحل.
ولكن قبل البدء إن كنت تود بمراجعة ما تم شرحه في موضوع سابق عن مفهوم المعادلات الدقيقة او كيفية تحديد المعادلات التفاضلية من حيث كونها معادلات تفاضلية دقيقة ام غير دقيقة تفضل بالإنتقال الى الموضوع مباشرةً عبر الرابط التالي:
https://assas2u.blogspot.com/2021/01/exact-equations.html
بالإضافة إلى انني قمت بشرح مفهوم الخطوات الأساسية الكاملة لحل المعادلات التفاضلية الدقيقة كتحضير ومقدمة لك لهذا التمرين, بإمكانك الإنتقال الى الموضوع عبر الرابط التالي:
https://assas2u.blogspot.com/2021/01/blog-post_18.html
والآن هيا بنا لنبدأ:
المطلوب في هذا التمرين هو إيجاد الحل للمعادلة التفاضلية الدقيقة او مايعرف بالإنجليزية Exact equation, هنالك خطوات أساسية لحل هذه المعادلة التفاضلية الدقيقة
سوف اقوم بتوضيح كافة الخطوات لك حتى نصل إلى الحل او الجواب النهائي لهذا التمرين
- الخطوة الأولى: تحديد دوال Mx,y و Nx,y
بالنسبة لــ Mx,y فهي دالة ترتبط بشكل أساسي بالرمز dx, وبالتالي من خلال النظر الى المعادلة المعطاة في التمرين فإن الخانة الأولى من المعادلة احتوت على دالة 6xy مضروبة في dx, اذن هذه الدالة هي دالة Mx,y
بالنسبة لــ Nx,y فهي دالة ترتبط بالرمز dy, اذن كما هو موضح في المعادلة المعطاة في التمرين فإن الخانة الثانية من المعادلة واللتي تحتوي على دالة مضروبة في dy هي دالة Nx,y
- الخطوة الثانية: التحقق من كون المعادلة التفاضلية هي معادلة دقيقة "Exact"
يجب التحقق من ذلك لأنه لايمكن الإنتقال إلى الخطوة الثالثة في حالة لم تكن المعادلة دقيقة مما سيستدعي الأمر الى التوقف لحل هذه المسألة, اذن الخطوة الثانية مهمة جدا وللتحقق من كون المعادلة التفاضلية دقيقة ام لا, عليك بعمل الإجرائات التالية:
1- اجراء عملية إشتقاق او تفاضل جزئي لدالة Mx,y ولكن ستشتق هنا بالنسبة للعنصر y فقط (لذلك سمي هذا الإشتقاق بالإشتقاق الجزئي) وكما هو موضح لك في هذه الصورة أن ناتج الإشتقاق هو 6x
2- إجراء عملية إشتقاق او تفاضل جزئي لدالة Nx,y ولكن ستشتق هنا بالنسبة للعنصر x فقط, ناتج الإشتقاق كما هو موضح لك باللون الأحمر هو 6x
في حالة تساوي القيمتين بعد الإشتقاق بنفس الناتج ذلك يعني أن المعادلة التفاضلية هي معادلة دقيقة "Exact equation", وبالتالي كما هو موضح في هذه الصورة فإن النواتج بعد الإشتقاق متساوية وهذه دلالة أساسية أن المعادلة التفاضلية هي معادلة دقيقة
بإمكاننا الآن الإنتقال مباشرةً الى الخطوة الثالثة
- الخطوة الثالثة: اجراء عملية إعادة تعريف لدوال Mx,y, Nx,y
كل ماعليك فعله هو فقط مجرد إعادة تعريف لهذه الدوال ومن ثم الإنتقال مباشرة إلى الخطوة الرابعة, حيث أن اعادة التعريف ثابتة لاتتغير وهي ضمن آليات الخطوات الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الدقيقة واللتي يجب الإلتزام بكتابتها
- الخطوة الرابعة: إيجاد قيمة او محتوى fx,y
تستطيع إيجاد هذه القيمة عن طريق خطوتين (لك حرية الإختيار) كلا الطريقتين صحيحة
لقد قمت في هذه الخطوة بحل هذا التمرين بإستخدام كلا الطريقتين لمساعدتك والتوضيح لك وللإثبات ايضاً في أن كلا الطريقتين صحيحة وسوف تصل بنا في نهاية الخطوة بنفس الناتج
كلا الطريقتين تحتوي على عدة خطوات او فقرات يجب إكمالها لكي نستطيع الإنتهاء من الخطوة الرابعة والإنتقال الى الخطوة الخامسة والأخيرة
الفقرة الأولى وهي اولى خطوات الحل كما هو موضح لك في هذه الصورة كتابة القانون لإيجاد fx,y, كما تلاحظ في القانون سوف يتطلب عليك إجراء عملية تكامل لدالة Mx,y (اذا كنت تريد إستخدام الطريقة الأولى) او اجراء عملية تكامل لدالة Nx,y (إذا كنت تريد إستخدام الطريقة الثانية )
مع التنويه أن العنصر المجهول في الطريقة الأولى gy لن يشمله عملية التكامل, بمعنى لن تجري عملية تكامل لهذا العنصر وسيبقى مجهول مؤقتا لحين إيجاد قيمته في الفقرات التالية
نفس الأمر ينطبق للعنصر المجهول hx في الطريقة الثانية, لن يشمله التكامل وسيبقى مجهولا مؤقتا لحين ايجاد قيمته في الفقرات التالية
ولكن ذلك لا يعني أنك ستتجاهله او تلغيه من إجابتك, بل ستكتبه وتتعامل معاه على انه عنصر ثابت مؤقتا
بالنسبة لعملية التكامل, فهي عملية تكامل عادية ولكن يجب الإنتباه إلى ان الفرق بين الطريقتين في عملية التكامل ليس فقط في الدوال Mx,y, Nx,y, هنالك فرق آخر وهو في طريقة التكامل, حيث أن في الطريقة الأولى ستجري عملية تكامل بالنسبة للعنصر x فقط لذلك ستشاهد رمز dx في عملية التكامل, اما بالنسبة للطريقة الثانية فسوف تجري عملية تكامل بالنسبة للعنصر y فقط (يجب الإنتباه لذلك جيداً)
لقد قمت بالتوضيح لك حول تفاصيل ناتج التكامل باللون الأحمر وصولا الى آخر خطوة من الفقرة الأولى
تذكر أننا سنعود الى هذه الفقرة مرة أخرى لتعويض قيم gy أو hx لأنهم عنصران مجهولان , اذا قمنا بتعويضهم بعد الحصول على قيمهم من خلال الفقرات التالية سوف نتحصل على قيمة fx,y وهي المراد إيجادها من خلال الخطوة الرابعة (هذه هي الفكرة العامة من الخطوة الرابعة)
بعد التوقف مؤقتاً من الفقرة الأولى من أجل الحصول على قيم gy او hx ننتقل الى الفقرة الثانية وذلك بتطبيق اجراء التفاضل او الإشتقاق الجزئي للقيمة الأخيرة اللتي تحصلنا عليها في الفقرة الأولى
بالنسبة للطريقة الأولى ستشتق آخر قيمة تحصلت عليها في الفقرة الأولى ولكن الإشتقاق الجزئي هنا سيكون للعنصر y فقط بالإضافة إلى ان هذه العملية ستشمل هذه المرة العنصر المجهول gy حيث أنك ستجري عليه ايضا عملية إشتقاق
بالنسبة للطريقة الثانية ستجري عملية إشتقاق للقيمة الأخيرة اللتي تحصلت عليها في الفقرة الأولى ولكن الإشتقاق هنا سيكون للعنصر x مع الأخذ في الإعتبار أن الإشتقاق سيشمل أيضا العنصر المجهول hx
لقد قمت بتحديد العناصر اللتي اجري عليها عملية التفاضل او الإشتقاق باللون الأحمر حتى تستطيع التمييز اكثر
في الفقرة الثالثة C سوف تقوم بعمل مقارنة بين الإجابة اللتي تحصلت عليها في آخر خطوة من الفقرة الثانية b مع دالة Nx,y (اذا استخدمت الطريقة الأولى ) او مع دالة Mx,y ( إذا استخدمت الطريقة الثانية)
الهدف من هذه المقارنة هو لتبسيط المعادلة لإيجاد قيمة العنصر المشتق المجهول سواء gy أو hx
ولكن يجب الإنتباه أنه في حالة عمل المقارنة ولم تستطع حينها بتبسيط المعادلة عن طريق شطب المتشابهات فيجب إعادة النظر للخطوات السابقة لأنه هذه دلالة ومؤشر أن هنالك خطأ في الحل (لاتستطيع الإنتقال الى الفقرة الرابعة من دون الإنتهاء من الفقرة الثالثة), ولكن طالما أنك استطعت تبسيط المعادلة ومن ثم اوجدت قيم او محتوى إشتقاق العناصر المجهولة فأعلم أنك في الطريق الصحيح وبإمكانك الإنتقال مباشرة الى الفقرة التالية
بعد الحصول على قيمة العنصر المجهول المشتق في الفقرة الثالثة, تقوم بعد ذلك في الفقرة الرابعة d بإجراء عملية تكامل للطرفين (للعنصر المجهول وايضا لمحتواه)
ولكن عملية التكامل ستكون مختلفة, حيث أن في الطريقة الأولى ستجري عملية تكامل للطرفين بالنسبة للعنصر y فقط, بينما في الطريقة الثانية ستجري عملية تكامل للطرفين بالنسبة للعنصر x فقط
والآن بعد عملية التكامل تحصلنا على قيم او محتوى العناصر المجهولة, كل ماعليك فعله الآن هو تعويض قيم العناصر المجهولة في الفقرة الأولى كما هو موضح لك في هذه الصورة, وبهذا اوجدنا قيمة او محتوى fx,y
بإمكاننا الآن الإنتقال مباشرة الى الخطوة الخامسة والأخيرة
- الخطوة الخامسة والأخيرة: تطبيق القاعدة
تنص القاعدة على أن محتوى fx,y =c
الرمز c هو رمز ثابت لا يتطلب منك إيجاد قيمته, كل ماهو مطلوب منك إيجاد قيمة fx,y وهو ماتحقق بالفعل من خلال الخطوة الرابعة
لتستطيع الآن التعويض مباشرة في هذه القاعدة لتتحصل على الإجابة النهائية لهذا التمرين.
الهدف من هذا التمرين هو لتقوية قدراتك في فهم وتنفيذ الخطوات الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الدقيقة
تعليقات
إرسال تعليق