أساسيات في علم التفاضل والتكامل "Calculus" , والمعادلات التفاضلية "Differential equations"

 في هذه الصفحة سوف اشرح لك مفهوم تحديد المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى من حيث كونها معادلة خطية متجانسة ام لا وهو مايعرف بالإنجليزية Linear Homogeneous Equations or Linear Non Homogeneous Equations وفقا لقاعدة أساسية سوف نتطرق إليها مع التطبيق على مثال سأوضح فيه كيفية تطبيق القاعدة وتحديد المعادلة التفاضلية الخطية من حيث كونها متجانسة ام غير متجانسة. هيا بنا لنبدأ: في الصورة أعلاه, قمت بتوضيح القاعدة الأساسية اللتي سوف نطبق عليها خطوات تحديد المعادلة التفاضلية الخطية من حيث كونها متجانسة ام لا لاحظ انه يجب ان تكون هذه القاعدة تحتوي على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى فقط, بمعنى يجب ان يكون رمز التفاضل او الإشتقاق من الدرجة الأولى مثل dy/dx  المقصود بــ Px هي أي دالة تحتوي على x ولكن هذه الدالة يجب ان تكون مضروبة في y (قد تكون دالة إكس عبارة عن رقم ثابت مثل 2,3,4 ..الخ) المقصود بــ Qx أي دالة تحتوي على x ولكن هذه الدالة يجب ان تكون في جهة مستقلة هذه هي القاعدة الأساسية, ولكن السؤال الأهم كيف نحدد المعادلة الخطية من حيث كونها متجانسة ام لا؟ الآن سوف اجاوب على هذا السؤال م

  المطلوب في هذا التمرين هو إيجاد التفاضل او الإشتقاق للفقرات الثلاث, سوف ارفق مجموعة من الصور اللتي تحتوي على الإجابات لكل فقرة مدعمة لك بتوضيح على كافة طرق الحل, والآن هيا بنا لنبدأ: التمرين الأول في هذه الفقرة يوجد لدينا دالتين مضروبة في بعض حيث أن: الدالة الأولى --> sinx -  الدالة الثانية --> 2x/x+1 ولكن بما أن الدالتين مضروبة في بعض و أحد الدوال عبارة عن بسط ومقام, بالإمكان عمل إعادة صياغة لهذه الفقرة لتبدوا اسهل لإجراء عملية التفاضل عليها, شاهد الصورة التالية: تعليمات من الصورة أعلاه: - تم عمل إعادة صياغة للفقرة مع إضافة توضيح في المستطيل الأزرق الأول, وهي بمثابة القول لجعل الدالة تبدوا اسهل لإجراء عملية التفاضل عليها - قم بتسمية البسط والمقام برموز معينة مثل u و v, حيث أن الرمز u يشمل محتوى البسط كاملاً, الرمز v يشمل محتوى المقام كاملاً - قم بتطبيق القاعدة اللتي اضفتها لك في المستطيل الأزرق الثاني وهي مختصة للدوال الكسرية او الدوال اللتي تحتوي على البسط والمقام, في الخطوة التالية سنقوم بتطبيق القاعدة تعليمات من الخطوة الأولى: - قم بإيجاد العناصر اللتي تحتاجها في القاعدة كإ

 في هذه الصفحة سوف اقدم لك تمرين إضافي حول درس التكامل بالتعويض وهو مايعرف بالإنجليزية Integration by substitution, ولكن قبل البدء إن كنت تود بمراجعة ما تم شرحه في موضوع سابق حول مفهوم هذا الدرس بالإضافة الى تطبيق مثال على ذلك, تفضل بالإنتقال مباشرةً الى الموضوع السابق عبر الرابط التالي: https://assas2u.blogspot.com/2020/12/integration-by-substitution.html

التكامل بالتعويض- Integration of substitution  احد الدروس الهامة في المواد المتعلقة بالتكامل "Calculus" والمعادلات التفاضلية "Differential equations", سنقوم في هذه الصفحة بالتركيز حول شرح مفهوم إستخدام هذا الأسلوب من التكامل والذي يعرف بــ التكامل بالتعويض (ماهو التكامل بالتعويض؟ متى يحين إستخدامه؟ ماهو الغرض منه؟)  بالإضافة الى مثال سنطبق عليه خطوات حل التكامل بالتعويض. والآن هيا بنا لنبدأ:

في هذه الصفحة سوف اقدم لك تمرين آخر عن درس Cross Product لتقوية أساسياتك بشكل اكبر في إتقان مفهوم هذا الموضوع, ولكن قبل البدء إن كنت تود بمراجعة ما تم شرحه في موضوع سابق عن مفهوم نظام Cross product مع مثال مدعم بتوضيح كافة خطوات الحل, تفضل بالإنتقال الى الرابط المباشر للموضوع السابق: https://assas2u.blogspot.com/2020/12/coss-product.html

 Cross Product أحد الدروس المهمة في المواد المتعلقة بالرياضيات او Calculus, في هذه الصفحة قمت بإضافة مثال لك حول كيفية تنفيذ عملية الضرب بإستخدام Cross بالنسبة للقيم المتجهة هدفي من خلال هذا المثال هو تقوية أساسياتك في موضوع  Cross product, سوف ارفق لك مجموعة من الصور تحتوي على المثال مع الحل الكامل خطوة بخطوة, لذا تابع معي في الصور التالية هيا بنا لنبدأ:

Dot Product درس من دروس مادة علم التفاضل والتكامل "Calculus", في هذه الصفحة سوف اقدم لك جميع الخصائص الأساسية عن ضرب المتجهات بصيغة Dot product, بالإضافة الى شرح مفهوم كيفية تحديد القيم المتجهة بإستخدام "Dot" من حيث كونها قيم عمودية او متعامدة وهو مايعرف بــ Orthogonal او Perpendicular مع إضافة ثلاث تمارين سنقوم بحلها حول هذا الموضوع. والآن هيا بنا لنبدأ:

 مجموعة من الأساسيات اقدمها لك في صورة واحدة, احفظها عندك لأنك ستحتاج إليها كثيراً في المواد المتعلقة بالتفاضل والتكامل "Calculus" والمعادلات التفاضلية "Differential equations" 

في هذه الصفحة سوف اقدم لك مثال حول كيفية تطبيق الخطوات الكاملة لحل المعادلة التفاضلية المتجانسة مدعومة بالصور حيث قمت بإضافة العديد من التوضيحات والتعليمات فيها حتى تصل المعلومة لك بأفضل طريقة ممكنة ولكن قبل البدء إن كنت تود مراجعة ما تم شرحه في موضوع سابق حول مفهوم استخدام الطرق لحل المعادلة التفاضلية المتجانسة كاملة تفضل بالإنتقال الى الموضوع عبر الرابط التالي: https://assas2u.blogspot.com/2020/12/blog-post_16.html

"طرق لحل المعادلات التفاضلية المتجانسة" هو درس من دروس مادة المعادلات التفاضلية "differential equations", سوف اشرح لك في هذا الدرس جميع الخطوات الكاملة لحل المعادلة التفاضلية المتجانسة بالصور واللتي دعمتها لك بإضافة العديد من التوضيحات والتعليمات اللتي ستحتاجها في هذا الدرس. والآن هيا بنا لنبدأ: في البداية اريد منك التعلم حول كيفية تحديد العنصرين M,N لأنك ستحتاجهم في الخطوات القادمة واللتي سنوضحها لك في هذا الدرس ولكن كيف يتم تحديد M,N  الجواب: بالنسبة للعنصر M يرتبط دائما بالدالة اللتي تحتوي على dx, اما العنصر N فهو يرتبط بالدالة اللتي تحتوي على dy M ---> dx N ---> dy والآن بعد معرفة تحديد العنصرين M,N  لنبدأ بشرح الخطوة الأولى "شاهد الصورة التالية": لقد قمت بالتوضيح لك حول كيفية تنفيذ الخطوة الأولى واللتي تسمى بتحديد الدالة المبسطة, والمقصود بالدالة المبسطة هي اللتي تكون شكليا في ابسط صورة ممكنة من الدالة الأخرى, لقد ارفقت لك مثالين مختلفين في الصورة اعلاه حتى اوضح لك مفهوم هذه الخطوة الهامة. بعد تحديد الدالة المبسطة ستنتقل بعد ذلك إلى استخدام القو

  واحدة من الأخطاء الشائعة اللتي دائما مايكون سببها الإستعجال او عدم المعرفة بنظام التعويض المباشر تحديدا في نقطة الإشارات سواء الموجبة او السالبة, بحيث يتم وضع الإشارة خارج مكان التعويض كما هو موضح في الحل "الجهة اليمنى" وهذا اسلوب خاطئ ويؤدي الى نتيجة خاطئة يجب أن يكون التعويض بشكل كامل "يشمل إشارة القيمة" كما هو موضح في الحل "الجهة اليسرى" وهو الأسلوب الصحيح لنظام التعويض المباشر.

Homogeneous Equations درس من دروس مادة المعادلات التفاضلية "Differential equations", ستتعلم من خلال هذا الدرس كيفية تحديد المعادلات من حيث كونها معادلات متجانسة أم غير متجانسة او مايعرف بــ Homogeneous او Non Homogeneous. هنالك طريقتين ستساعدك في تحديد المعادلات من حيث كونها متجانسة أم غير متجانسة: 1- الطريقة الأولى عن طريق قرائتك للمعادلة وإستنتاج قيم الأسس بالنسبة للمجاهيل, فإذا تساوت قيم الأسس عند كل مجهول أصبحت المعادلة تسمى بالمعادلة المتجانسة Homogeneous, اما اذا كانت قيم الأسس بالنسبة للمجاهيل غير متساوية تسمى المعادلة في هذه الحالة بالمعادلة الغير متجانسة Non Homogeneous. 2- الطريقة الثانية وتسمى بالطريقة النظامية عن طريق إضافة t بجانب كل مجهول والآن لنبدأ بأخذ مثال بتطبيق الطريقتين الأولى والثانية: لاحظ في الصورة أعلاه, قمنا بإستخدام الطريقة الأولى من خلال قراءة المعادلة وإستنتاج قيم الأسس, كما هو موضح لك من خلال المثال لدينا ثلاثة اجزاء من المجاهيل - الجزء الأيسر وهو x تربيع وقيمة الأس تساوي 2 - الجزء الأوسط وهو xy مرفوعين بالأس 1 ولكن طالما انهم مضروبين في بعض, اذن

  المطلوب في هذا التمرين هو إيجاد الحل للمعادلة التفاضلية بإستخدام خطوات فصل المجاهيل او ما يعرف بــ Separation of variables. سأرفق لك الآن خطوات الحل كاملة مدعمة بالطرق التوضيحية والتعليمات في بعض خطوات الحل حتى تصل المعلومة إليك بأفضل طريقة ممكنة: الخطوة الأولى : لقد قمت بتمييز المجاهيل مثل x و y باللونين الأزرق والبني حتى اوضح لك اننا في عملية فصل للمجاهيل وبالتالي بحاجة الى تحديد المجاهيل اولا قبل الفصل لتستطيع بعد ذلك فصلها في كل جهة بشكل مستقل كما هو موضح في الصورة اعلاه. الخطوة الثانية:  ملاحظات: - بعد الإنتهاء من عملية الفصل في الخطوة الأولى, تقوم بعد ذلك في الخطوة الثانية بإجراء عملية التكامل لكلا الجهتين - طلب السؤال بجعل صيغة الحل explicit solutions إن امكن ذلك, ولكن ذلك لا يمكن وبالتالي تصبح الصيغة معرفة بــ Implicit solution. ملحوظة: المقصود بــ explicit solution هو انه يجب ان تكون صيغة الحل معرفة كالآتي: y = f(x) --->  example:  y= 2x +c   غير ذلك يكون مسمى الحل هو Implicit solution

في هذه الصفحة سوف أقدم لك مثال ثالث بخصوص درس Dot Product وهو أحد دروس مادة علم التفاضل والتكامل "Calculus", ولكن قبل البدء إن كنت تود في مراجعة ماتم شرحه في موضوع سابق عن مفهوم هذا الدرس بالإضافة الى مثالين قمنا بحلهم جميعا مع الشرح,تفضل بالإنتقال الى الموضوع عبر الرابط التالي: https://assas2u.blogspot.com/2020/12/dot-product.html

 Dot Product درس من دروس مادة علم التفاضل والتكامل "Calculus", في هذه الصفحة سأقوم بشرح مفهوم هذا الدرس وتوضيح كافة القواعد والخطوات الأساسية لحساب الزاوية والقيم المتجهة بصيغة Dot product, بالإضافة الى بعض النقاط الإضافية اللتي سأقوم بشرحها لك في هذا الدرس. والآن هيا بنا لنبدأ: ملاحظات: - ارفقت لك في الصورة أعلاه القواعد الأساسية في حساب القيم المتجهة بالإضافة الى قيم الزاوية في هذا الدرس - ارفقت لك توضيحا في المستطيل الأزرق, وهي مختصة لحساب القيم المطلقة , انتبه لابد ان تكون القيم جميعها موجبة, حتى وان كانت القيم المتجهة تحتوي على قيم سالبة فيجب تحويلها الى موجبة لأن هذه القيم اللتي ستقوم بحسابها هي قيم "مطلقة" بمعنى  لا وجود لإشارة السالب حتى وان كانت القيمة سالبة - الفرق بين القيم المتجهة والقيم الغير متجهة يكمن في نقطتين: 1 - ظهور الأقواس "< >" وهي أقواس مختصة للقيم المتجهة 2 - تظهر القيم المتجهة بإمتلاك i,j,k ضمن محتوياتها في الصورة أعلاه قدمت لك ثلاث امثلة لتتعلم كيفية حساب القيم المتجهة بصيغة Dot product  (الأول ضرب الأول + الثاني ضرب الثاني

في هذه الصفحة سوف اقدم لك ثلاث تمارين عن درس تفاضل الدوال المضروبة في بعض, الهدف من التمارين هي لتقويتك بشكل أكبر في إستخدام قاعدة Product rule. سوف ارفق لك مجموعة من الصور تحتوي على الثلاث تمارين والحلول لكل تمرين, قمت ايضا بتوضيح خطوات الحل حتى تصل المعلومة إليك بشكل افضل, والآن هيا بنا لنبدأ:  التمارين الثلاث حل التمرين الأول: حل التمرين الثاني: حل التمرين الثالث: