في هذه الصفحة سوف اشرح لك مفهوم تحديد المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى من حيث كونها معادلة خطية متجانسة ام لا وهو مايعرف بالإنجليزية Linear Homogeneous Equations or Linear Non Homogeneous Equations وفقا لقاعدة أساسية سوف نتطرق إليها مع التطبيق على مثال سأوضح فيه كيفية تطبيق القاعدة وتحديد المعادلة التفاضلية الخطية من حيث كونها متجانسة ام غير متجانسة.
هيا بنا لنبدأ:
في الصورة أعلاه, قمت بتوضيح القاعدة الأساسية اللتي سوف نطبق عليها خطوات تحديد المعادلة التفاضلية الخطية من حيث كونها متجانسة ام لا
لاحظ انه يجب ان تكون هذه القاعدة تحتوي على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى فقط, بمعنى يجب ان يكون رمز التفاضل او الإشتقاق من الدرجة الأولى مثل dy/dx
المقصود بــ Px هي أي دالة تحتوي على x ولكن هذه الدالة يجب ان تكون مضروبة في y (قد تكون دالة إكس عبارة عن رقم ثابت مثل 2,3,4 ..الخ)
المقصود بــ Qx أي دالة تحتوي على x ولكن هذه الدالة يجب ان تكون في جهة مستقلة
هذه هي القاعدة الأساسية, ولكن السؤال الأهم كيف نحدد المعادلة الخطية من حيث كونها متجانسة ام لا؟
الآن سوف اجاوب على هذا السؤال من خلال الصورة التالية اللتي ارفقت فيها توضيحا كاملاً للإجابة على هذا السؤال, شاهد الصورة التالية :
كما تلاحظ فالأمر يرتبط إرتباط أساسي بالدالة Qx, اذا كانت هذه الدالة تساوي 0 فيمكننا القول اذن ان هذه المعادلة التفاضلية الخطية متجانسة, واذا كانت لا تساوي 0 اذن ستكون معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة
لننتقل الآن الى التطبيق على مثال:
المطلوب من خلال هذا المثال هو كتابة المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى وفقا للقاعدة اللتي قمنا بتوضيحها لك ومن ثم تحديد هذه المعادلة التفاضلية الخطية من حيث كونها متجانسة ام غير متجانسة
قبل البدء في أولى خطوات الحل أريد التوضيح لك حول التفاصيل الهامة اللتي يجب معرفتها والتركيز عليها اولا, شاهد الصورة التالية:
كما وضحت لك في الصورة اعلاه, تبين لنا ان هنالك عنصر مضروب في dy/dx وهذا الأمر غير موجود في القاعدة, وبالتالي قبل النظر في اي تفاصيل اخرى من القاعدة يجب اولا التخلص من هذا العنصر, شاهد الصورة التالية:
طريقة التخلص من العنصر x تتم عن طريقة القسمة على العنصر نفسه ولكن للجميع, بمعنى لكل خانة في المثال:
- ستقسم أولاً على نفس العنصر لتتخلص منه
-ستقسم ثانياً على x تربيع الموجود في الجهة اليمنى على العنصر x
- ثالثاً ستقسم 3y على العنصر x
لقد ارفقت لك توضيحا في المستطيل البرتقالي حول هذه العملية في الصورة أعلاه, والآن اصبحت dy/dx مطابقة لــ dy/dx الموجودة في القاعدة, لننتقل الآن الى الخطوات التالية:
تعليمات من الخطوة الثانية:
- تقوم في هذه الخطوة بتنفيذ القاعدة بحيث يتم نقل 3y/x الى الجهة اليسرى وفقا للقاعدة واللتي ينبغي عليك نقل هذه الدالة اللتي تحتوي على px مضروبة في y
حيث ان صورة px هنا ظهرت على شكل 1 على x كما هو موضح لك في الجزء الأيمن من الصورة حيث انني قمت بتمييز 1 على x باللون الأخضر والمقصود هنا ان هذه الدالة هي دالة px مضروبة في دالة y
وبالتالي يجب نقلها الى الجهة اليسرى وفقا للقاعدة
بعد النقل, أصبحت المعادلة التفاضلية الخطية مطابقة للقاعدة, وبالنظر إلى الدالة Qx يتبين لنا هنا انها لاتساوي 0 حيث انها تساوي x وبالتالي تسمى هذه المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى بالمعادلة الغير متجانسة
Linear Non-Homogeneous Equation
تعليقات
إرسال تعليق