في هذا المثال سوف نتعلم كيفية إشتقاق او تفاضل دالة تحتوي على جذر تربيعي, ربما البعض لا يشعر بشعور جيد حينما يرى دالة داخل جذر تربيعي ويعتقد ان الموضوع معقد او صعب.
أريد ان اقول لك اطمأن فالأمر اسهل مما تتصور, ليس اسلوب الحل صعب وانما قد تكون المعلومة لم تصل إليك بعد او لم تصل بالطريقة اللتي تناسبك, على اي حال انا متفائل ان مشكلتك هذه سوف اقوم بحلها ان شاء الله, والآن لنبدأ:
تحتوي الدالة اللتي تسمى y على جذر تربيعي لــ X2 + 1, قبل التفكير في اشتقاق او تفاضل الدالة الجذرية, اولا انصحك بإعادة صياغة هذه الدالة لتصبح أسهل عليك, والطريقة كالآتي:
- الخطوة الأولى:
مامعنى جذر تربيعي لــ X2 + 1 ؟
الجواب: أن ( X2 + 1 ) مرفوعة للأس 0.5 " بمعنى نص/نصف", شاهد الصورة التالية "عند الخطوة الأولى":
لاحظ ان اعادة صياغة الجذر التربيعي لــ X2 + 1 هو وضعهم جميعهم بين قوسين مرفوع بالأس 0.5 بمعنى مرفوع بالأس نصف
بمعنى أن هذه الصيغة هي نفسها الجذر التربيعي لــ X2 + 1 , نفس المعنى ولكن بإختلاف الصيغة فقط.
والآن بعد اعادة صياغة هذه الدالة وتحويلها من دالة جذرية الى دالة أسية, لنبدأ الآن في اجراء عملية الإشتقاق او التفاضل, سوف اقدم لك قاعدة او اسلوب معين لتطبيق التفاضل على الدالة الأسية , والآن ركز معي:
أفضلية الأس مع نسخ قيمة مابين القوسين مضروبة في إشتقاق مابين القوسين
مرة اخرى:
أفضلية الأس مع نسخ قيمة مابين القوسين مضروبة في إشتقاق مابين القوسين
كيف يتم ذلك؟, سوف ترى الآن :
1 - أفضلية الأس ---> معناه سوف يتم تنزيل الأس 0.5 بجانب القوسين "بحيث تكون مضروبة" ولكن بشرط: لكي يتم تنزيل الأس لابد أولاً من طرح 1 من قيمة الأس, بمعنى يجب ان نطرح 1 من 0.5 لكي يتم تنزيل قيمة الأس 0.5 الى جانب مابين القوسين, وبالتالي:
0.5 - 1 = 0.5 - "سالب نصف"
والآن بعد ان تم الطرح, نستطيع تنزيل النصف بجانب مابين القوسين.
2 - نسخ مابين القوسين --> بمعنى تنسخ القيمة كاملة مابين القوسين وهي X2 + 1 دون إجراء اي تفاضل او اشتقاق لها ولكن يجب أن لاتنسى ان قيمة الأس تغيرت الآن من 0.5 إلى 0.5 - .
3 - مضروبة ---> بمعنى سوف تضرب ما سبق من الخطوات 1 و 2 في الخطوة التالية 4.
4 - إشتقاق ما بداخل القوسين ---> والآن هنا سوف تشتق او تفاضل ما بداخل القوسين وهما X2 + 1, ماهو إشتقاق X2 + 1؟
الجواب: بالنسبة لــ X2, يجب أولا تنزيل الأس 2 الى جانب X ولكن بشرط: لكي يتم التنزيل لابد من طرح الأس من 1 بمعنى:
(2 - 1 = 1 ), والآن نستطيع تنزيل الأس 2 الى جانب X بعدما تم تحقيق شرط الطرح مع الإنتباه ان قيمة الأس تغيرت بعد الطرح واصبحت قيمتها 1, اذن إشتقاق X2 يساوي 2X, لاحظ الأس يساوي واحد "عادة 1 لايكتب".
والآن لننتقل إلى إشتقاق الرقم 1, في علم التفاضل يجب ان لاننسى أن إشتقاق او تفاضل اي رقم يساوي 0, اذن إشتقاق 1 يساوي 0.
شاهد الصورة التالية اللتي توضح فيه ماتم شرحه بالنسبة للخطوات الأربعة:
ركز في الخطوة الثانية, وتذكر ما قلته لك بخصوص قاعدة إشتقاق الدالة الأسية, سوف اكررها لك مرة اخرى:
أفضلية الأس (بمعنى اول شيء يتم تنزيل الأس) مع نسخ مابين القوسين (بدون اجراء اي عملية إشتقاق ولكن لاتنسى قيمة الأس الجديدة بعد الطرح) مضروبة في إشتقاق ما بداخل القوسين (سوف تضربها في إشتقاق ما بداخل القوسين, يعني راح تشتق القيمة مابداخل القوسين جميعها )
مرة أخرى سأعيد القاعدة وركز على الصورة عند الخطوة الثانية :
أفضلية الأس مع نسخ مابين القوسين مضروبة في إشتقاق ما بداخل القوسين.
هذا هو حل المثال بعد تطبيق القاعدة, وتستطيع تبسيط الحل بشكل اكثر, شاهد الصورة التالية:
للتذكير الحل بالنسبة لهذا المثال هو عند نهاية الخطوة الثانية, ما سنشرحه الآن هو لتبسيط الحل فقط, والآن لنكمل:
لاحظ عند الخطوة الثالثة اصبحت القيمة الكلية عبارة عن بسط ومقام, ولكن كيف؟
انظر في نهاية الخطوة الثانية, حينما يكون لديك قيمة مثل 0.5 عبارة عن بسط ومقام مضروبة في دوال بجانبها مثل X2 + 1 مرفوعة بالأس سالب 0.5 وايضا مضروبة في 2X, كل هذه القيم حينما تنضرب في بسط ومقام مثل 0.5 فإن هذه القيم تنتقل جميعها للبسط "في الأعلى " , لاحظ الخطوة الثالثة لم نغير القيمة وانما فقط نقلنا القيم اللتي كانت بجانب البسط والمقام جميعها إلى البسط وهذا اجراء حسابي اعتيادي يجب ان تتقنه تماما.
اما بالنسبة للخطوة الرابعة فهي تكملة للخطوة الثالثة بمعنى انه مازال يمكنك تبسيط الحل اكثر, لاحظ في هذه الخطوة الجديدة ما الذي تغير عن الخطوة الثالثة؟, لقد تم تنزيل مابين القوسين X2 + 1 مرفوعة بالأس سالب 0.5 الى المقام , ولكن كيف؟
الجواب: تستطيع اجراء هذه العملية ولكن هنالك شرط: يجب تغيير اشارة الأس لتستطيع تنزيل القيمة إلى المقام او العكس حتى اذا اردت ان ترفع القيمة الى البسط فيجب عليك تغيير اشارة الأس
والآن بما ان اشارة الأس سالبة, بعد التنزيل الى المقام لاحظ ان اشارة الأس تغيرت واصبحت موجبة, بمعنى ان الصيغة الآن اللتي تشاهدها في الخطوة الرابعة هي نفس المعنى في الخطوة الثالثة وايضا الثانية, الذي حصل انه تم التبسيط اكثر واختلفت الصيغة فقط ولكن المعنى واحد.
والآن بعد الإنتهاء من الخطوة الرابعة, هل تعتقد انه مازال يمكننا التبسيط أكثر؟
الجواب: نعم تستطيع, ركز في الرقم 2 الموجود في البسط والمقام, ماوجه الشبه بينهم؟
كلاهما مضروب في قيمة معينة صحيح؟, لاحظ ان الرقم 2 الموجود في البسط مضروب في X والآخر مضروب في X2 + 1 مرفوعة بالأس 0.5 , وبالتالي تستطيع ان تشطب الرقمين مع بعض "بإعتبارهم يساوي 1" , شاهد الصورة التالية:
لاحظ في الخطوة الخامسة انه تم شطب 2 لأنه = 1 , وماذا بعد؟
تم ايضا تغيير صياغة مابين القوسين الموجود في المقام X2 + 1 المرفوعة بالأس 0.5 إلى الجذر التربيعي, تذكر دوما الخطوة الأولى من الحل, نفس المعنى ولكن بإختلاف الصيغة فقط.
وهكذا انتهينا من حل المثال كاملاً , وللتذكير مرة أخرى, لاحظ من الخطوة الثانية لغاية الخطوة الخامسة, في نهاية كل خطوة اضع اشارة او علامة"صح" وهي فقط لتوصيل رسالة انك جاوبت على المثال وما تفعله الآن هو فقط لتبسيط الحل.
تعليقات
إرسال تعليق