المطلوب في هذا التمرين هو إيجاد التفاضل او الإشتقاق لكل فقرة على حدى, سوف ارفق لك الإجابات كاملة لكل فقرة موضحا فيها كافة تفاصيل الحل
لنبدأ:
الفقرة الأولى
- لاحظ ان الدالتين يفصل بينهما إشارة الزائد "+" وهذه الإشارة تدل في علم التفاضل انك سوف تجري عملية التفاضل او الإشتقاق لكل دالة بشكل مستقل بحيث انك ستشتق الدالة الأولى ومن ثم ستشتق الدالة الثانية
- لقد ارفقت لك توضيحا في المستطيل الأخضر حول كيفية إشتقاق الدالة الأولى, كل ماعليك فعله هو تنزيل معامل الأس وهو الرقم 2, بينما في الدالة الثانية قمت بكتابة القاعدة الأساسية لإشتقاق هذا النوع من الدوال في المستطيل الأخضر, تذكر دائما هذه القاعدة لكي يسهل عليك إيجاد الإشتقاق مباشرةً كما ان هذه القاعدة تختص فقط بهذا الشكل من الدوال, بمعنى انه اذا تحصلت على دالة كسرية وكان البسط يحتوي على رقم ثابت والمقام يحتوي على مجهول مثل x مرفوع بالأس 1 فهنا تطبق القاعدة مباشرة ولكن على سبيل المثال إن لم تكن درجة القوى او الأس يساوي 1 فبالتالي لاتستطيع مباشرة تطبيق هذه القاعدة
الفقرة الثانية
- في هذه الفقرة احتوت على دالتين يفصل بينهما إشارة الطرح ( - ) وهي تحمل نفس معنى إشارة الزائد (+) في علم التفاضل بحيث انك ستجري عملية إشتقاق للدالة الأولى بشكل مستقل ومن ثم ستجري عملية إشتقاق للدالة الثانية
- إشتقاق الدالة الأولى هو sinx-, لقد ارفقت لك توضيحا لكيفية إشتقاق بعض الدوال المثلثية مثل sinx,cosx وكيفية التكامل ايضا في حالة طلب منك السؤال اجراء عملية تكامل, في المقابل بالنسبة للدالة الثانية قمت بتوضيح تفاصيل كيفية إشتقاق هذا النوع من الدوال ولكي اسهل الأمر عليك قمت بإعادة صياغة الدالة وجعلها دالة أُسية او دالة ذات درجة قوى معينة بعد أن كانت دالة كسرية, اعادة الصياغة هذه اللتي اجريتها في اول خطوة هي فقط مجرد اعادة صياغة وتحمل نفس المعنى في الصيغة الأولى, بحيث اذا كتبت الصيغة الأولى او الصيغة الثانية كلاهما يحملان نفس المعنى, يجب الإنتباه جيدا في طريقة التحويل من دالة كسرية الى دالة اسية حيث الإختلاف المهم الذي يجب التركيز عليه هنا هو في إشارة درجة القوى او الأس, حيث كانت إشارة درجة الأس في الصيغة الأولى موجبة وحينما تريد تحويلها الى الصيغة الثانية سوف تقوم بتغيير الإشارة من الموجبة الى السالبة
والآن بعد التغيير او كتابة الصيغة الثانية من الدالة اصبحت الدالة اسهل شكليا لإجراء عملية التفاضل عليها, طريقة التفاضل تكون بتنزيل الأس اولا كما هو موضح لك في الصورة ولكن يجب ان لا تنسى حتى يتم تنزيل الأس يجب طرحه من 1, وبالتالي
سالب 2 طرح سالب 1 يساوي 3-, وحتى تبدو شكل الدالة افضل او للتخلص من الإشارة السالبة بالنسبة للأس تقوم حينئذ بتحويلها الى الصيغة الأولى وتصبح دالة كسرية لأنه مع التحويل ستتغير إشارة الأس السالبة وتصبح موجبة
الفقرة الثالثة
- في الفقرة الثالثة احتوت على دالتين مضروبة في بعض او يفصل بينهما إشارة الضرب"إشارة الضرب عادة لاتكتب", وبالتالي هنا يجب تطبيق قاعدة الدوال المضروبة في علم التفاضل واللتي تعرف بالإنجليزية Product rule
لقد قمت بكتابة القاعدة الخاصة بالدوال المضروبة بالإضافة الى توضيح كيفية تطبيق هذه القاعدة على الدالة في المستطيل الأخضر, كما انني ميزت لك الدوال المشتقة باللون الأحمر حتى اوضح لك تأثير القاعدة على شكل الدالة بعد الإشتقاق لتصبح بعد ذلك هي الإجابة النهائية لهذه الفقرة
الفقرة الرابعة
- في هذه الفقرة لدينا دالية كسرية او دالة تحتوي على بسط ومقام, في علم التفاضل حينما تواجهك دالة كسرية بهذا الشكل يجب تطبيق القاعدة الأساسية واللتي تعرف بالإنجليزية Quotient rule
لقد قمت بكتابة القاعدة والتوضيح لك بشكل كامل حول خطوات تطبيق قاعدة تفاضل الدوال الكسرية, كما انني انبه الجميع بعدم الإستعجال اثناء الإنتهاء من تطبيق القاعدة لأنك سوف تحاول بعد ذلك الى تبسيط الجواب بحيث تجمع المتشابهات سواء المجاهيل او الأرقام الثابتة مع الإنتباه والتركيز للإشارات سواء السالبة او الموجبة, على سبيل المثال لاحظ بعد تنفيذ القاعدة في الخطوة الأولى تحديدا في الجزء المختص حول "البسط مضروب في إشتقاق المقام" لاحظ ان المحتوى (2x+5) هو محتوى موجب بمعنى ان كلاهما يحملان إشارة موجبة, ولكن بسبب إشارة الطرح ( - ) الموجودة قبل هذا الجزء "البسط مضروب في إشتقاق المقام" فإنها ستؤثر على هذا المحتوى وبالتالي اذا تلاحظ في الخطوة الثانية بعد فك الأقواس كما ترى في هذه الصورة تغيرت إشارة المحتوى من الإشارة الموجبة إلى الإشارة السالبة, لذلك انبه الجميع بالتركيز في هذه الخطوة وعدم الإستعجال لأنها واحدة من الأخطاء الشائعة
الفقرة الخامسة
- احتوت الدالة هنا على شكل دالة زاوية مرفوعة بالأس 4
هذا النوع من الدوال لديه آلية معينة لإجراء عملية التفاضل عليها, لقد عملت على توضيح الآلية كاملة او التفاصيل بخصوص تفاضل هذا النوع من الدوال وقسمتها لك في ثلاثة خطوات
--> في الخطوة الأولى تقوم بالتعامل مع درجة القوى فقط او الأس لهذه الدالة, مما يعني بصيغة اخرى ستكون لها اولوية في البدء بإجراء الإشتقاق عليها قبل اي عنصر اخر, اذن ستقوم بتنزيل الأس ولكن لاتنسى شرط التنزيل وهو وجوب طرح 1 من قيمة الأس كما هو موضح لك في الخطوة الأولى في هذه الصورة
--> في الخطوة الثانية تقوم بنسخ الخطوة الأولى اولا بشكل كامل, ثم بعد ذلك تقوم بتطبيق الخطوة الثانية وهي إشتقاق العنصر الموجود خارج القوسين او خارج الزاوية وهو العنصر tan حيث ان إشتقاقه هو sec تربيع ومن ثم تقوم بضربها في الزاوية دون إجراء اي اشتقاق لها ودون ايضا كتابة الأس لهذه الزاوية ( فقط إشتقاق العنصر خارج الزاوية وضربها في الزاوية)
--> في الخطوة الثالثة تقوم بنسخ الخطوة الثانية اولا بشكل كامل, ثم بعد ذلك تقوم بتطبيق الخطوة الثالثة وهي تختص بإشتقاق الزاوية او إشتقاق المحتوى الموجود بين القوسين, وبالتالي إشتقاق 2x+1 هو 2
لاحظ ان الإشارة الفاصلة بين كل خطوة قمنا بها هي إشارة الضرب, بمعنى ان جميع العناصر مضروبة في بعض, وبسبب ذلك قمنا بضرب الرقم 2 في الرقم 4 مما نتج عنه الرقم 8 كما هو موضح لك في المستطيل الأخضر لتصبح بعد ذلك هي الإجابة النهائية لهذه الفقرة الأخيرة
تعليقات
إرسال تعليق