في هذه الصفحة سوف اقدم لك مثالين عن التكامل, احدهما عن درس التكامل بالتعويض والآخر عن التكامل بالقسمة المطولة
الهدف من هذه الأمثلة هو للتوضيح لك الفرق بين كلا الطريقتين لمساعدتك في اتخاذ القرار حول استخدام احد هاتين الطريقتين سواء التكامل بالتعويض او التكامل بالقسمة المطولة.
هيا بنا لنبدأ:
المطلوب من هذا التمرين هو إيجاد التكامل لكل فقرة على حدى, كما تلاحظ من خلال هاتين الفقرتين ان كلاهما عبارة عن دالة كسرية او دالة تحتوي على بسط ومقام
لنبدأ بالفقرة الأولى, يجب اولا قراءة شكل الدالة ومن ثم الإستنتاج حول الآلية او الطريقة المناسبة اللتي ستستخدمها لإجراء عملية التكامل
الطريقة المناسبة لإجراء عملية التكامل لهذه الفقرة هي التكامل بالتعويض, ولكن لماذا؟
الجواب: لأن البسط هو إشتقاق المقام "بغض النظر عن الأرقام الثابتة"
ركز مرة اخرى على المقام, ماهو إشتقاق المقام؟
الجواب: 2x اليس كذلك؟
وبالنظر الى هذه الإجابة نجد البسط ايضا يحتوي على الإجابة نفسها "بغض النظر عن الرقم الثابت 2"
اذا تحقق هذا الأمر معك مثل مانرى الآن من خلال هذه القراءة تأكد تماما انك ستستخدم التكامل بالتعويض
يجب ان يكون البسط هو إشتقاق المقام"بغض النظر عن الأرقام الثابتة"
حينما اقول لك بغض النظر عن الأرقام الثابتة ذلك لا يعني انك ستتجاهل الأرقام الثابتة, بل سوف تستخدمها ولكن المقصد انها لاتؤثر في قرارك حول تحديد استخدام التكامل بالتعويض
والآن لنبدأ اولى خطوات الحل بإستخدام التكامل بالتعويض:
الخطوة الأولى:
- قم بتسمية المقام كاملا بالرمزu
- اوجد الإشتقاق او التفاضل لدالة u
- من خلال هذا الإشتقاق اوجد dx
الهدف من هذه الخطوة هو لتحويل شكل الدالة من دالة تكامل بالنسبة لـ x وبالرمز dx إلى دالة تكامل بالنسبة لــ u وبالرمز du
لنرى كيف سيكون ذلك في الخطوة الثانية:
الخطوة الثانية:
- تحويل دالة التكامل الى دالة تكامل بالنسبة لـ u وبالرمزdu
لاحظ بعد اجراء هذه الخطوة, اصبح بإمكننا شطب x
وهذا هو الغرض من إستخدام التكامل بالتعويض, حيث ان في البداية قمت بالتوضيح لك حول اهمية قراءة الدالة لإستنتاج استخدام التكامل بالتعويض, اما الآن ومن خلال هذه الخطوة يتضح لك الغرض من استخدام التكامل بالتعويض
حيث ان الغرض هو لتبسيط دالة التكامل وجعلها دالة متاحة لإجراء عملية التكامل عليها بشكل مباشر
والآن لنجري عملية التكامل:
الخطوة الثالثة:
- اجراء عملية التكامل بشكل مباشر للدالة
- ناتج التكامل هو Lnu
-بعد الحصول على ناتج التكامل, قم بإعادة تعريف u كما كانت قبل التعويض لتصبح بذلك هي الإجابة النهائية لهذه الفقرة
في الفقرة الثانية, المطلوب ايضا اجراء عملية التكامل لهذه الدالة
مرة اخرى يجب قراءة شكل الدالة قبل البدء في اي تفاصيل اخرى حتى نصل الى الإستنتاج الصحيح حول استخدام الطريقة المناسبة لإجراء عملية التكامل
دعني اتوقف قليلا عن الإجابة حول الطريقة المناسبة اللتي سوف تستخدمها سواء التكامل بالتعويض او التكامل بالقسمة المطولة, سوف اقوم بتطبيق فكرة التكامل بالتعويض كما تم تطبيقها في الفقرة الأولى, لاحظ من خلال الصورة اعلاه, قمت بتطبيق خطوات التكامل بالتعويض كاملة ولكن لاحظ انه حينما تم تحويل الدالة الى دالة تكامل بالنسبة لــ u وبالرمزdu لم استطع شطب المجاهيل او شطب x
الم نتفق سابقا ان الغرض من استخدام التكامل بالتعويض هو لتبسيط شكل الدالة؟ اذا لم يتم الشطب كيف سنبسط الدالة اذن؟
في هذه الحالة لايمكننا استخدام التكامل بالتعويض, وبالتالي هذه الطريقة غير مناسبة لحل هذه الفقرة
مرة اخرى لنقم بقراءة شكل الدالة, لاحظ ان درجة القوى او الأس الموجود في البسط او الموجود في المجهول x هي نفس درجة القوى او الأس الموجودة في المقام او المجهول x اليس كذلك؟
حيث ان درجة القوى في البسط تساوي 1 ودرجة القوى في المقام ايضا تساوي 1 او درجة الأس الخاصة بــ x تساوي 1 في البسط وفي المقام ايضا
في هذه الحالة اذا تساوت درجات الأس في البسط وفي المقام (أو)كانت درجة البسط أعلى من درجة المقام, وجب في هذه الحالة إستخدام التكامل بالقسمة المطولة
الخطوة الأولى:
- استخدام القسمة كما هو موضح لك في الصورة أعلاه
- لقد قمت بتمييز الرقم 1 والرقم 4- باللونين الأخضر وبالبرتقالي لأوضح لك كيفية استخدام هاتين القيمتين في شكل الدالة الجديد بعد التبسيط, حيث ستبدأ دائما بكتابة القيمة الموجودة خارج القسمة وهو الرقم 1 باللون الأخضر ومن ثم ستستخدم القيمة الموجودة في باقي القسمة وهو الرقم باللون البرتقالي 4- مقسومة على المقام وهو x+1
وللتبسيط اكثر, قمت بإعادة صياغة شكل دالة التكامل بحيث قمت بتوزيع التكامل لكل خانة على حدى حتى تبدو لك اسهل واوضح لإجراء عملية التكامل, الهدف من ذلك للتوضيح لك ايضا على ان آلية التكامل ستكون مختلفة لكل خانة
حيث ان في الخانة الأولى يوجد الرقم 1 وهنا ستطبق مباشرة عملية التكامل
ولكن في الخانة الثانية شكل الدالة مختلف حيث انها دالة كسرية, وبالتالي يجب قراءة شكل هذه الدالة اولا واستنتاج الطريقة المناسبة لإجراء عملية التكامل
والآن هل البسط هو إشتقاق المقام؟
الجواب: نعم, الم نتفق في البداية على ان الأرقام الثابتة لاتؤثر
اذن المقام والذي محتواه هوx+1 سيكون ناتج إشتقاقه هو 1
اذن ناتج المقام هو رقم ثابت "1" ومحتوى البسط ايضا رقم ثابت "4-", اذن يمكننا القول الآن ان البسط هو إشتقاق المقام
وبالتالي وجب هنا استخدام التكامل بالتعويض
تعليقات
إرسال تعليق