تمرين عن تطبيق اسلوب التكامل بالتعويض (شرح بالفيديو)

 السلام عليكم ورحمة الله وبركاته, اسعد الله اوقاتكم بكل خير سوف اقدم لكم في الرابط التالي شرح كامل عن تطبيق اسلوب التكامل بالتعويض - كيفية استخدام التكامل بالتعويض - ماهي الطرق الصحيحة في استخدام آلية وخطوات التكامل بالتعويض - الغرض من استخدام التكامل بالتعويض العديد من الأمور الهامة اللتي قمت بتوضيحها من خلال هذا الدرس الذي بإمكانكم مشاهدته مباشرة عبر قناتنا في اليوتيوب خلال الرابط التالي: الجزء الأول: https://www.youtube.com/watch?v=lhHeVtGa210 الجزء الثاني: https://www.youtube.com/watch?v=mrJeYtbbyI8

تمرين: التكامل بالتعويض

 

المطلوب في هذا التمرين هو إيجاد التكامل لكل من a,b, سوف اقوم بالإجابة على هذا التمرين كاملا موضحا لك كافة خطوات الحل لكل فقرة على حدى

هيا بنا لنبدأ:

الفقرة الأولى

لاحظ أن هذه الدالة احتوت على دالتين مضروبة في بعض, بمعنى ان الفاصل بين كلا الدالتين هي إشارة الضرب حيث أن:
الدالة الأولى هي 4x^3
الدالة الثانية هي cosx^4 +1

طالما أن الفاصل بين هاتين الدالتين هي إشارة الضرب فلا يمكن إجراء عملية التكامل بشكل مباشر, لابد من طريقة لتبسيط هذه الدالة وجعلها متاحة لإجراء عملية التكامل عليها بشكل مباشر, ولكن ماهي الطريقة المناسبة؟
لنقرأ هذه الفقرة جيدا حتى نستنتج الطريقة المناسبة, لاحظ أن الدالة الأولى هي إشتقاق او تفاضل محتوى cos, بمعنى أن :
4x^3 هي إشتقاق x^4 + 3

لاحظ في الصورة أعلاه, لقد قمت بتوضيح هذه النقطة على الجانب الأيمن من الصورة, قمت بأخذ محتوى cos او بصيغة اخرى قمت بأخذ زاوية cos ومن ثم اجريت عملية التفاضل عليها, لاحظ ان الإجابة باللون الأحمر هي نفس قيمة الدالة الأولى اليس كذلك؟
(مع الأخذ بعين الإعتبار, أن الأرقام عبارة ثوابت ليس لها أهمية من ناحية التشابه, تكمن الأهمية الرئيسية هي في تشابه العناصر المجهولة مثل x, بمعنى اذا اختلفت الأرقام ليست مشكلة, الأهم ان العناصر المجهولة مطابقة لبعضها البعض) ولكن من خلال هذه الفقرة فإن كل من العناصر المجهولة وهي الأهم والأرقام متشابهة 
حسنناً والآن ماذا نستنتج من هذه القراءة؟
نستنتج على انه في هذه الحالة سوف نستخدم التكامل بالتعويض
لماذا نستخدم التكامل بالتعويض؟
سوف اقوم بالإجابة على هذا السؤال في الخطوة الثانية, حتى ابين واوضح لك الغرض من استخدام التكامل بالتعويض

- الخطوة الأولى: تعويض العناصر الغير مشتقة (المقصود به هو محتوى cos)
تذكر دائما ً في التعويض, ستقوم بإعادة تسمية المحتوى الذي اذا اجريت له عملية الإشتقاق سوف يعطيك قيمة الدالة الأخرى
اذن ماهو المحتوى الذي اذا اجريت له عملية الإشتقاق سوف يعطيك قيمة الدالة الأخرى؟
الجواب: كما قمت بإيضاح ذلك في النقاط السابقة, هو محتوى cos وهو x^4 + 3
اذن ستقوم بتسمية هذا المحتوى كاملا بالرمز u كما هو موضح لك في الصورة أعلاه
ثم بعد ذلك ستقوم بإشتقاق الدالة u, ومن ثم إيجاد قيمة dx

الهدف او الغرض من الخطوة الأولى هو لتغيير شكل الدالة في هذه الفقرة من دالة تحتوي على العنصر x وبالرمز dx الى دالة تحتوي على العنصر u وبالرمز du
هذا هو السبب للقيام بهذه الإجراءات في الخطوة الأولى

لننتقل الآن الى الخطوة الثانية واللتي ستكون فيها الإجابة للسؤال حول الغرض او السبب الرئيسي في استخدام التكامل بالتعويض


- الخطوة الثانية: قم بتعويض u و du في دالة التكامل للفقرة a 
لاحظ أن بعد تعويض محتوى cos او زاوية cos بالرمز u وايضا بتعويض dx بالقيمة اللتي اوجدناها في الخطوة الأولى, اكتشفنا انه بعد التعويض تستطيع شطب المتشابهات وهي 4x^3 لتصبح الدالة عبارة عن cosu
هل شاهدت هذا التغير؟ الم تلاحظ أن الدالة اصبحت الآن مبسطة بشكل افضل واصبحت اسهل لإجراء عملية التكامل عليها؟
ممتاز, هذا هو السبب لإستخدامنا التكامل بالتعويض, الغرض منه هو لتبسيط شكل الدالة لجعلها دالة متاحة لإجراء عملية التكامل عليها بشكل مباشر
والآن بعد ان اصبحت جاهزة لإجراء عملية التكامل عليها, تقوم حينها مباشرة بتكامل الدالة لتصبح الإجابة كما هو موضح في الصورة يساوي sinu + c

- الخطوة الثالثة والأخيرة: قم بإعادة تعريف u كما كانت قبل التعويض لتصبح بذلك هي الإجابة النهائية لهذه الفقرة
 


الفقرة الثانية

لاحظ ان دالة التكامل في الفقرة الثانية b, احتوت على دالة كسرية او دالة تحتوي على بسط ومقام, حيث أن في البسط هنالك عنصر مجهول وهو x مضروب في 5
اما في المقام فهنالك عنصر مجهول آخر او محتوى يحتوي على عنصر مجهول وهو 2x^2 + 1
في هذه الحالة لا نستطيع إجراء التكامل بشكل مباشر لكون دالة التكامل غير جاهزة لإجراء عملية التكامل مباشرة

اذن لنقرأ هذه الدالة لإستنتاج الأسلوب المناسب, وكما هو موضح لك في هذه الصورة فإن الأسلوب المناسب لتبسيط شكل هذه الدالة هو اسلوب التكامل بالتعويض لماذا؟
الجواب: لأن البسط هو إشتقاق المقام, بمعنى أنه اذا اجريت عملية التفاضل او الإشتقاق للمقام فإن الناتج هو 4x اليس كذلك؟
جيد, ولكن ربما تسأل ان البسط قيمته 5x, اما ناتج إشتقاق المقام هو 4x , اليس هنالك مشكلة؟
الجواب: لا, لأن الإختلاف الوحيد هو في الأرقام فقط, وكما شرحت لك في النقاط السابقة في الفقرة الأولى حيث نبهتك أن الأرقام ليس لها اهمية من ناحية ضرورة تشابه القيم, فالأرقام هي ثوابت في النهاية, الأهم هو تشابه العناصر المجهولة حتى تستطيع الإنتقال لعملية الشطب وتبسيط دالة التكامل في الخطوات التالية
اذن هل العناصر المجهولة متشابهه, الجواب نعم, شاهد الصورة أعلاه في الجانب الأيمن حيث قمت بتوضيح ناتج عملية الإشتقاق لمحتوى المقام وثبت أن هذا الناتج يحتوي على العنصر المجهول x وهو نفس العنصر المجهول الموجود في البسط, حيث أن كلاهما مرفوعان بدرجة القوى او الأس 1 (عادةً الرقم 1 لا يكتب)
في هذه الحالة طالما ان العناصر المجهولة متشابهه وهي الأهم, بإمكاننا الآن إستخدام التكامل بالتعويض

- الخطوة الأولى: قم بتعويض محتوى المقام بالرمز u
كل ماعليك فعله هو تعويض المقام بالرمز u, ومن ثم إجراء الإشتقاق لدالة u, ثم بعد ذلك توجد قيمة dx كما هو موضح لك في هذه الصورة
مرة اخرى, الغرض من هذه الخطوة هو لتحويل شكل الدالة من دالة تحتوي على العنصر x وبالرمز dx الى دالة تحتوي على العنصر u وبالرمز du



- الخطوة الثانية: التعويض المباشر في دالة التكامل
قم بإستبدال محتوى المقام وبالرمز dx بالقيم اللتي تحصلت عليها في الخطوة الأولى
قم بشطب المتشابهات بعد التعويض, كما هو موضح لك في هذه الصورة تم شطب المتشابهات ونقل الأرقام خارج التكامل لأن الأرقام عبارة عن ثوابت
ثم بعد ذلك تقوم بإجراء عملية التكامل المباشر للدالة اللتي اصبحت متاحة لإجراء عملية التكامل المباشر عليها (هذا هو الغرض من استخدام التكامل بالتعويض, الهدف هو لتبسيط شكل الدالة وجعلها متاحة لإجراء عملية التكامل المباشر عليها)
تنويه: بالنسبة لناتج التكامل وهو Lnu, تذكر دائماً في التكامل حينما تواجهك دالة تحتوي على بسط ومقام, حيث كان محتوى البسط عبارة عن اي رقم ثابت, اما المقام عبارة عن عنصر مجهول مرفوع بدرجة القوى او الأس 1, في هذه الحالة يكون ناتج التكامل يساوي Ln مضروبة في محتوى المقام
وبالتالي كما هو موضح في هذه الصورة فإن الناتج هو Lnu

- الخطوة الثالثة: قم بإعادة تعريف u كما كانت قبل التعويض لتتحصل على الإجابة النهائية لهذه الفقرة b


تعليقات

المشاركات الشائعة من هذه المدونة

مثال: إشتقاق دالة كسرية (X2 + 3 / X + 1)

أمثلة متعددة: الدومين والرينج Domain&Range

مثال: إشتقاق او تفاضل دالة جذرية ( X2 + 1 ) مدعم بالشرح الكامل