أساسيات في علم التفاضل والتكامل "Calculus" , والمعادلات التفاضلية "Differential equations"

 في هذه الصفحة سوف اقدم لك مثالين حول درس الــ Separable Equations وهو أحد دروس مادة المعادلات التفاضلية "Differential equations", ولكن قبل ذلك إن كنت تود بمراجعة ما تم شرحه في موضوع سابق حول طرق الحل الكاملة في هذا الدرس, تفضل بالإنتقال الى الموضوع السابق عبر الرابط المباشر: https://assas2u.blogspot.com/2020/11/separable-equations_28.html

في هذه الصفحة سأقدم لك طرق الحل الكاملة حول درس Separable Equations وهو أحد دروس مادة المعادلات التفاضلية "Differential Equations", بالإضافة إلى انني قمت بالتوضيح لك كل طريقة على حدى من حيث كيفية عمل الخطوة الأولى او الثانية او الثالثة بشكل مستقل حتى تصل المعلومة إليك بأفضل طريقة ممكنة. والآن اطلب منك التركيز في كل خطوة قمت بشرحها لك في الصورة التالية :   ملاحظات: - المعادلة التفاضلية dy/dx اطلقت عليها معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى لأنها مرفوعة بالأس 1 " عادة الواحد لايكتب", هذه المعادلة التفاضلية ستكون معطى من ضمن المعطيات في التمارين, ومن خلال هذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى ستبدأ أنت بتطبيق الخطوات الثلاث اللتي قمت بشرحها لك وهي الخطوات الكاملة المتعلقة بدرس Separable equations المختصة بالمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. - بخصوص العملية الحسابية C2 - C1 = C, تخيل معي أن: ِC2 --> تساوي 2 C1 --> تساوي 1 وبالتالي 2-1 = 1, بمعنى رقم ناقص رقم يساوي رقم آخر, كما نعلم أن الأرقام في عالم الرياضيات هي ثوابت مهما كانت قيمة الرقم يبقى ثابت من الثوابت, وبا

  مجموعة من التمارين حول درس الـ Separable equations وهو احد دروس مادة المعادلات التفاضلية, اقدمها لك بهدف تقويتك في إستنتاج الدوال من حيث كونها Separable  او Non separable, سأرفق لك مجموعة من الصور اللتي قمت بالتوضيح فيها على جميع تفاصيل الإجابات الخاصة بالتمارين, ولكن قبل ذلك سوف ابدأ بكتابة القاعدة الأساسية في هذا الدرس مع توضيح التفاصيل فيها ومن ثم سأرفق لك الإجابات عن كل تمرين من التمارين الأربعة والآن هيا بنا لنبدأ: حل التمرين الأول : حل التمرين الثاني: حل التمرين الثالث: حل التمرين الرابع:

  تمارين إضافية حول Arc Length in Space سنقدم لك تمرينين إضافيين حول هذا الدرس من مادة علم التفاضل والتكامل"Calculus" بهدف تقويتك بشكل أكبر, ولكن قبل ذلك إن كنت جديدا او تود بمراجعة ما تم شرحه في موضوع سابق حول هذا الدرس أدعوك أولا للإنتقال إلى هذا الرابط التالي: https://assas2u.blogspot.com/2020/11/arc-length-in-space.html

 Arc Length in Space درس من دروس مادة علم التفاضل والتكامل "Calculus", سوف نركز في هذا الدرس في الجانب الحسابي, حيث يتطلب علينا إيجاد طول المنحنى او مايعرف بــ Length of the curve, سنقوم بشرح خطوات الحل ومن ثم سنقدم لك مثال مدعما بالطرق التوضيحية حتى تصل المعلومة إليك بشكل افضل. والآن هيا بنا لنبدأ: كما هو موضح في الصورة أعلاه, هنالك قاعدة يتطلب علينا إستخدامها لكي نوجد قيمة Length of the curve بمعنى إيجاد قيمة L, ترتبط القاعدة بنقطتين هامتين وهما: - التفاضل او الإشتقاق - التكامل حيث انه لابد من إجراء عملية التفاضل او الإشتقاق للدالة ومن ثم ناتج هذا الإشتقاق ستجري عليه عملية التكامل واللتي ستقودك بعد ذلك للجواب النهائي وهو إيجاد قيمة L ملحوظة: عملية الإشتقاق او التفاضل مرتبطة بالدالة r واللتي تحتوي على العناصر x,y,z حيث ستجري على كل عنصر عملية التفاضل في الصورة أعلاه, قمت بالتوضيح لك بعض النقاط الهامة, للحصول على القيم او محتوى الجذر التربيعي بالنسبة للقاعدة الخاصة بـ L يجب عليك اولا من اجراء عملية الإشتقاق للدالة r كما هو موضح في المستطيل البرتقالي, الأخضر, والرمادي هنالك صي

 تمارين إضافية عن درس Initial-value problem في هذه الصفحة سأقدم لك تمارين إضافية حول هذا الدرس وهو احد دروس مادة المعادلات التفاضلية, ولكن قبل ذلك إن كنت تريد مراجعة هذا الدرس ورؤية اولى الأمثلة اللتي شرحناها في موضوعين سابقين, سأرفق لك الرابط الأول والثاني لمراجعة ما تم شرحه في السابق: https://assas2u.blogspot.com/2020/11/intital-value-problem.html https://assas2u.blogspot.com/2020/11/intial-value-problem.html اما بالنسبة لهذه الصفحة فستكون مخصصة للتمارين الإضافية, سوف ارفق لك التمارين مدعمة بالطرق التوضيحية لكيفية الحل, والآن هيا بنا لنبدأ: التمرين الأول الحل

  في هذا التمرين من درس Initial-Value problem وهو احد دروس مادة المعادلات التفاضلية,  سوف يتطلب علينا إيجاد قيمتين لـ C حيث يجب علينا إيجاد قيمة C1 و C2 كما ان هنالك شرطين لابد ان نتعامل معهم لإيجاد قيم C, كل ذلك سنقوم بتوضيحه خلال الخطوات القادمة. والآن هيا بنا لنبدأ:

  درسنا لهذا اليوم هوعن كيفية إستنتاج الدومين "Domain" والرينج "Range"  الخاصة بالدالة وهي احد الدروس الهامة في مادة علم التفاضل والتكامل "Calculus", قدمنا لك ثلاث أمثلة سنقوم بحلها لك بإستخدام طرق توضيحية عبر الصور بالإضافة إلى الشرح حتى تصل المعلومة بشكل أسهل إليك. والآن هيا بنا لنبدأ, تابع الصور التالية: أهم الأمور من خلال هذا المثال الأول الذي يجب أن تضع تركيزك عليهم هو المحتوى المؤثر في شرط الدومين, ولكن ماهو؟ الجواب: المقصود بالمحتوى المؤثر هو x و y لأنه من المهم جيدا تحديد قيمتهم حتى نضمن الحصول على قيمة معرفة, وبالتالي لابد ان يكون الدومين في هذا المثال هو أن الناتج النهائي من محتوى الجذر التربيعي أكبر من او يساوي 0 لكي نتحصل على قيمة معرفة , غير ذلك سوف نتحصل على قيمة غير معرفة ---> Error ولاتنسى التركيز ايضا بخصوص القوس الأحمر "القوس المغلق", والقوس الأصفر "القوس المفتوح"

المطلوب في هذا المثال هو إيجاد الحل "إيجاد قيمة C" للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى, لماذا تحديدا من الدرجة الأولى؟ الجواب: لاحظ علامة الإشتقاق في المعطى الأول حيث ان y' تساوي y تربيع y' ---> العلامة اللتي فوق y يرمز لدرجة الإشتقاق وهي الدرجة الأولى. لحل هذا المثال سوف يكون تركيزك على نقطتين هامتين, النقطة الأولى وهو الشرط او مايعرف بــ first condition وهو: y(0) = -1  اما النقطة الثانية وهي الحل العام للمعادلة التفاضلية وهو: y = - 1/x+c  بهاتين النقطتين سوف نقوم بحل المثال, والآن تابع الخطوات التوضيحية في الصورة التالية: كما هو موضح في الصورة أعلاه, سيكون تركيزك على النقطتين اللتي قمت بتحديدها لك باللون الأصفر والأزرق بالنسبة لــ Condition وهو  y(0) = -1 , تذكر دائما اذا كانت لديك مشكلة في تحديد قيم x او y, الحرف الذي يظهر قبل القوسين ستكون قيمته مابعد إشارة = , على سبيل المثال: k(0)=4  قيمة k  هنا تساوي 4 , اما ما بين القوسين ستكون لقيمة العنصر الآخر سواء x  او اي عنصر آخر. بعد إيجاد قيمة C ستقوم بتعويضها هي فقط من دون تعويض عناصر y و X في الحل العام للمعادلة ا

  في هذا المثال سوف نتعلم كيفية رسم Free Body Diagram للعارضة "Beam" بالإضافة إلى حساب جميع الـ Support reactions المؤثرة على العارضة. لاحظ ان هذه العارضة تحتوي على قوى مائلة بزاوية 60 درجة على محور x كما ان العارضة تحتوي على دعامتين مثبتة عند النقطتين A و B , حيث ان الدعامة الأولى المثبتة عند A تسمى Pin Support تظهر على شكل مثلث, بينما الأخرى Roller Support عند النقطة B, تحتوي العارضة ايضا على قيمة مومنت مقدارها 60kN.m. والآن هيا بنا نبدأ: لاحظ في الخطوة الأولى قمنا برسم FBD للعارضة, الغرض منها هو لتوضيح جميع القوى المؤثرة على العارضة مع التركيز على مكان وقوع الزاوية 60, حيث انها تقع على محور X وذلك يعني بعد تحليل القوى الى قوتين افقية وعمودية, ستكون الأفقية 250 مضروبة في Cos الزاوية, اما القوى العمودية 250 مضروبة في Sin الزاوية طيب واذا كانت الزاوية واقعه على محور y بدلا من x ماذا سيحدث؟ الجواب: اذا كانت الزاوية واقعة على محور y فذلك يعني العكس تماما, حيث ان القوى الأفقية ستكون مضروبة في Sin الزاوية واما القوى العمودية ستكون مضروبة في Cos الزاوية [هل ادركت أهمية وقوع الزاوي

  في هذا المثال سوف نتعلم كيفية إجراء إشتقاق او تفاضل جزئي للدالة ومن ثم نقوم بتعويض القيم المعطاة في المثال لكل مجهول. قبل البدء اريد التوضيح بخصوص مفهوم التفاضل او الإشتقاق الجزئي, على سبيل المثال اذا اردنا ان نجري إشتقاق جزئي للدالة بالنسبة للمتغيرX فيجب ان يكون التفاضل لكامل الدالة فقط لــ X اما غير ذلك يساوي 0 فمثلا : fx,y  = x + 1 وقلت لك اوجد لي الإشتقاق الجزئي لــ X ورمزه هو d/dx, سيكون الجواب كالتالي d/dx [ x + 1] = 1 + 0 لاحظ اننا قمنا بإجراء التفاضل فقط لــ X وتفاضلها هو 1, اما بالنسبة للعنصر الآخر 1 فهذا العنصر ليس X وبالتالي تلقائيا يكون الجواب 0, وحتى اذا كان في المثال بدل الرقم 1 عنصر آخر, لنقل مثلا y بدل الرقم 1, حينما تشتق للعنصر X سيكون إشتقاق y ايضا 0. والآن هيا بنا لنبدأ بحل هذا المثال, لقد ارفقت لك صورة موضحا فيها الخطوات الكاملة للحل:

  في هذا المثال كما هو موضح في الصورة أعلاه, سوف نقوم بإثبات أن المعادلة الموجودة في المستطيل الأول المحدد باللون الأصفر هو الحل للمعادلة الأساسية المحددة باللون البرتقالي, ولإثبات ذلك لابد اولا من تطبيق المعادلة الموجودة في المستطيل الأصفر على المعادلة الأساسية ونتأكد هل هي فعلا الحل الصحيح للمعادلة الأساسية المحددة باللون البرتقالي ام لا؟, ولكن كيف نعرف انها الحل الصحيح للمعادلة؟ الجواب: لاحظ ان الحل المبدئي الموجود في المستطيل الأصفر يساوي 0, بمعنى انه في حال طبقنا هذا الحل على المعادلة الأساسية فإن الناتج يجب ان يساوي 0 والآن سأرفق لك الصورة التالية موضحاً لك كافة خطوات الحل لهذا المثال: لاحظ اننا اوجدنا في البداية إشتقاق y من الدرجة الأولى ومن ثم اوجدنا الإشتقاق الثاني من y, بمعنى الدرجة الثانية من الإشتقاق , حتى نستطيع التعويض بالحل المبدئي المعطاه في المثال على المعادلة الأساسية والتأكد فيما اذا كانت هي الحل الصحيح للمعادلة الأساسية ام لا, تابع الخطوات اللتي قمت بالتوضيح فيها اكثر حتى تبدو لك سهلة للفهم كما هو موضح في الصورة أعلاه تم التأكد ان الحل المبدئي للمعادلة الأساسية هو ا

  في هذا المثال سوف نركز بشكل كبير على نقطة هامة جدا وهي كيفية إستنتاج المسافة الخاصة بالقوة 40 اللتي تظهر على شكل مثلث حينما نأخذ المومنت عند أي نقطة سواء نقطة A او B, لنفرض اننا نريد ان نأخذ المومنت عند النقطة B مع الإفتراض ايضا ان القوى اللتي تتحرك عكس عقارب الساعه بالنسبة للنقطة B تكون إشارتها موجبة, شاهد الصورة التالية: لاحظ انه حينما تأخذ المومنت ويكون لديك قوى على شكل مثلث مثل القوى 40 فإنه لابد من تطبيق قاعدة خاصة وهي: 0.5 مضروبة في الإرتفاع او قوى المثلث وهي 40 مضروبة في قاعدة المثلث وهي مسافة المثلث من البداية الى النهاية وهي 2m, هذا كله عبارة عن قاعدة, مازلنا لم نضرب في المسافة بعد, والآن بعد تطبيق القاعدة ننتقل الى ضربها في المسافة, ولكن مسافة من بالضبط؟ الجواب: مسافة القوى 40 الى النقطة B اللتي اخذنا منها المومنت, جيد والآن ركز في الصورة اعلاه وانظر شكل المثلث الذي يبدأ من منتصف العارضة ومن ثم يكبر بشكل تدريجي الى ان يصل الى النقطة A  صحيح؟ جيد, والآن ركز في نهاية المثلث, بمعنى في آخر سهم يسقط فيه المثلث على العارضة وتحديدا عند النقطة A, يجب اولا أن تأخذ ثلث مسافة المثلث ب

 في هذه الصفحة سوف اقدم لكم مجموعة من الأمثلة تدور حول أساسيات التفاضل او الإشتقاق للدوال, هنالك قواعد متعددة للتفاضل, سوف اركز اليوم على أربعة إشارات مهمة جدا وتؤثر في شكل واسلوب التفاضل وهم : +, -,    ÷,  ×, هذه الإشارات حينما تكون الفاصل بين الدوال فإنها تؤثر في اسلوب وشكل الإشتقاق. في هذه الصفحة سأقدم لك مثال لكل إشارة + مع القاعدة الخاصة بها في التفاضل او الإشتقاق + مع الجواب ايضا, والآن لنبدأ:

 في هذه الصفحة سوف نقدم تمارين إضافية حول تحديد المعادلات التفاضلية من حيث كونها معادلات خطية ام لا, هنالك ثلاث نقاط أساسية  لتحديد المعادلات الخطية من المعادلات التفاضلية تم شرحها بالتفصيل مع إضافة الأمثلة لكل نقطة في وقت سابق, بإمكانك مراجعتها في الرابط التالي: https://assas2u.blogspot.com/2020/11/blog-post.html

  في هذا المثال سوف نتعلم اساسيات التكامل المحدود, سبب تسمية التكامل بالتكامل المحدود لأنه يبدأ بحد معين وينتهي بحد معين, وكما هو موضح في الصورة أعلاه ان بداية حد التكامل هو 0 ونهاية الحد هو 8, هيا بنا نبدأ بحل هذا المثال: سوف نقوم بإجراء عملية التكامل للدالة اللتي تحتوي على X + 6, ولكن قبل ذلك يجب ان تعلم انك سوف تكامل بالنسبة لأي متغير بالضبط؟ الجواب: ضع تركيزك في الرمز dx, هذا الرمز هو الجواب لسؤالنا, حيث انك سوف تكامل الدالة بالنسبة للمتغير X, بصيغة اخرى سوف تضيف X على كل عنصر موجود في الدالة, والآن لنبدأ بأول عنصر موجود في الدالة وهو X ونجري عليه عملية التكامل بإضافة X للعنصر X, حينما تضيف X للعنصر X  يصبح المعنى هنا انك تقوم بضرب X في X, وفي ضرب المتغيرات بنفس النوع "يعني لديك X مضروبة فيX" هنا وجب عليك جمع قيمة الأسس بمعنى تجمع الأس بالنسبة لــ X الموجودة في الدالة مع الأس الخاص بــ X القادم من اجراء التكامل, وبالتالي 1+1 = 2 , وبالتالي سوف تصبح قيمة الأس الجديدة الخاصة بــ X بعد إجراء عملية التكامل تساوي 2,  ولكن هل اكتمل التكامل؟ الجواب:لا, يجب ان تقسم على عدد معين,

سنركز في درسنا لهذا اليوم عن الأساسيات في تحليل القوى العادية والقوى الموزعة بإنتظام بشكل متساوي والقوى الموزعة بإنتظام على شكل مثلث بإستخدام المومنت, هدفنا من خلال هذا الدرس هو تقوية أساسياتك في تحليل القوى بأنواع مختلفة, سوف نقدم لك ثلاثة أمثلة على حدى, المثال الأول سيكون عن القوى العادية , والثاني سيكون على القوى الموزعة بإنتظام بشكل متساوي, والمثال الثالث سيكون عن القوى الموزعة بإنتظام على شكل مثلث, هيا بنا لنبدأ: كما نلاحظ في هذا المثال, تحتوي العارضة "Beam" على قوى معلومة وقوى مجهولة, حيث ان هنالك قوتين تساوي 10kN على طرفي العارضة, كما ان هنالك قوى في منتصف العارضة وفي الطرف الأيمن ايضا وهما قوى مجهولة P,R المطلوب هو ان نوجد مقدار هاتين القوتين  لنبدأ الآن بالخطوة الأولى وهو استخدام معادلة القوى على محور y بحكم ان جميع القوى على العارضة قوى عمودية وبالتالي سنتعامل مع محور y فقط , شاهد الصورة التالية: بعد استخدام قوانين تحليل القوى بأخد جميع القوى على محور y مع الإفتراض ان القوى المتجهة للأعلى بالسهم تكون قوى موجبة, تحصلنا على هذا الناتج كما هو موضح في الصورة أعلاه, لاحظ

  في هذا المثال سوف نتعلم حول كيفية إشتقاق الدالة اللتي تحتوي على Lnx وكيفية عمل إشتقاق مرتين لهذه الدالة. والآن لنبدأ: للوصول الى الإشتقاق الثاني لهذه الدالة لابد اولا من اجراء عملية الإشتقاق الأولى dy/dx واللتي من خلالها نستطيع إجراء عملية الإشتقاق الثانية d2y/dx2. شاهد الصورة التالية: لاحظ في الصورة أعلاه أن إشتقاق او تفاضل Lnx هو 1 مقسوم على x, ولكن كيف حدث ذلك؟, سوف نقوم بالتوضيح لك اكثر حتى تتعلم كيفية الحصول على هذا الناتج من التفاضل, شاهد الصورة التالية: لاحظ ان قيمة الأس او الدرجة الخاصة بمحتوى Ln وهو x انها مرفوعة بالأس 1, اليس كذلك؟ جيد, والآن قم بإعادة صياغة هذه الدالة بتنزيل قيمة الأس 1 الى جانب Ln كما موضح باللون الأحمر في الصورة أعلاه, حيث اننا هنا لم نجري عملية الإشتقاق او التفاضل وانما فقط قمنا بإعادة صياغة الدالة "بمعنى ان الدالة اللتي باللون الأحمر هو نفس المعنى بالنسبة للدالة باللون الأسود". ممتاز هدفنا من هذه النقطة هو لتبسيط الأمر عليك ولجعل عملية التفاضل او الإشتقاق تبدو اسهل بكثير, والآن بعد اعادة صياغة الدالة, قم بتحديد a,b كما موضح في الصورة أعلاه, ح