في هذا التمرين من درس Initial-Value problem وهو احد دروس مادة المعادلات التفاضلية, سوف يتطلب علينا إيجاد قيمتين لـ C حيث يجب علينا إيجاد قيمة C1 و C2 كما ان هنالك شرطين لابد ان نتعامل معهم لإيجاد قيم C, كل ذلك سنقوم بتوضيحه خلال الخطوات القادمة.
والآن هيا بنا لنبدأ:
ملاحظات من الصورة أعلاه:
- اولى خطوات الحل هي تحديد المعطيات اللتي ستقودك لحل المثال, لأهمية ذلك قمت بتحديدها لك باللونين الأصفر والأزرق
- قمنا بتعويض قيم إكس و واي مباشرة من خلال القيم الموجودة في الشرط الأول من دون إجراء عملية تفاضل او إشتقاق, لأن الشرط الأول لا يتطلب إجراء إشتقاق او تفاضل للحل العام للمعادلة التفاضلية
- قيم إكس و واي تم تعويضهم باللونين الأخضر والأزرق
- بعد الحساب تبين لنا أن قيمة C1 = 1
لننتقل الآن إلى الشرط الثاني:
ملاحظات من الصورة أعلاه:
- في الشرط الثاني ظهرت واي بصيغة تفاضلية من الدرجة الأولى مما يعني ذلك ضرورة إشتقاق الحل العام للمعادلة التفاضلية
- أثناء إجراء الإشتقاق تبين لنا أن هنالك دالتين مضروبة في بعض وهما xlnx , حيث أن:
x ----> الدالة الأولى
lnx ----> الدالة الثانية
وبالتالي كلا الدالتين مضروبة في بعض, اذن وجب تطبيق قاعدة Product rule واللتي تنص:
الدالة الأولى مضروبة في إشتقاق الدالة الثانية + الدالة الثانية مضروبة في إشتقاق الدالة الأولى
- بعد الإنتهاء من الإشتقاق نقوم بتعويض قيمة C1, حيث تم حسابها في الخطوات السابقة وتساوي 1, تم تحديدها لك باللون الأحمر
- تم تعويض قيم إكس و واي باللونين الأخضر والأزرق من الشرط الثاني
- بعد الحساب, تبين لنا أن قيمة C2 = -1
بعد إيجاد قيم C, حيث أن:
C1 = 1
C2 = -1
نقوم بعد ذلك في الخطوة الأخيرة كما هو موضح في الصورة أعلاه بتعويض قيم C في الحل العام للمعادلة التفاضلية (تعويض قيم C فقط), وبالتالي يكون ذلك هو الجواب النهائي لهذا المثال:
y = x - xlnx
تعليقات
إرسال تعليق