المطلوب في هذا التمرين هو إيجاد الحل لهذه المعادلة التفاضلية بصيغة معادلة برنولي, فكرة هذا التمرين تدور حول كيفية تحويل المعادلة التفاضلية الغير خطية بصيغة معادلة برنولي إلى معادلة تفاضلية خطية, ثم بعد ذلك تقوم بتطبيق الخطوات الأساسية الخاصة لحل المعادلات التفاضلية الخطية
قبل البدء ومن باب التذكير, لقد قمت بشرح مفهوم هذا الدرس كمقدمة وتحضير لك لحل هذا التمرين في موضوع سابق تم نشره, تستطيع الإطلاع عليه عبر الرابط التالي:
والآن هيا بنا لنبدأ:
الخطوة الأولى:
- التأكد فيما اذا كانت المعادلة التفاضلية المعطاة لك في التمرين هي معادلة تفاضلية خطية ام غير خطية, بحيث اذا كانت غير خطية فلا يمكن إجراء الخطوات الأساسية الخاصة لحل المعادلات التفاضلية الخطية طالما ان هذه المعادلة التفاضلية غير خطية, يجب في حالة التأكد من كونها غير خطية من تحويلها الى معادلة خطية اولاً بإجراء بعض العمليات على المعادلة, ثم بعد ذلك تستطيع مباشرةً استخدام الخطوات الأساسية لحل هذه المعادلة الذي قمت بتحويلها الى معادلة خطية
- بناء على المعادلة التفاضلية المعطاة لك في التمرين تصنف على انها معادلة تفاضلية غير خطية بسبب العنصر المجهول y المرفوع بالأس او درجة القوى 3
ماذا يعني ذلك؟
الجواب: اذا كانت قيمة n والمقصود بها درجة القوى او الأس الخاص بالعنصر المجهول y تساوي 1 او 0 في هذه الحالة يطلق على المعادلة التفاضلية بصيغة معادلة برنولي على انها معادلة تفاضلية خطية
ولكن اذا كانت قيمة الأس تساوي أي رقم آخر غير عن الرقمين 1 و 0 في هذه الحالة تسمى المعادلة التفاضلية بصيغة معادلة برنولي معادلة تفاضلية غير خطية
وبالتالي في هذه المعادلة التفاضلية المعطاة في التمرين ومن خلال درجة الأس واللتي تساوي 3 يتضح لنا أن هذه المعادلة التفاضلية هي معادلة تفاضلية غير خطية
- بعد التأكد على ان هذه المعادلة التفاضلية غير خطية, تقوم بعد ذلك بالتخلص من هذا العنصر المؤثر في تسمية المعادلة التفاضلية من حيث معادلة خطية او غير خطية وهو العنصر y المرفوع بالأس 3 عن طريق التقسيم بنفس العنصر, ولكن تذكر دوما يجب التقسيم ايضا على جميع الخانات في المعادلة بنفس العنصر كما هو موضح لك في هذه الصورة
- تحويل المعادلة التفاضلية إلى صيغة du/dx بدلا من dy/dx وهذا يشمل ايضا تغيير y وتحويلها إلى u
بصيغة اخرى: اذا كانت dy سوف تتحول صيغتها إلى du, يجب ايضا تحويل y إلى u
- أرفقت لك في المستطيل الأخضر توضيحا بخصوص كيفية تحويل الدالة الكسرية إلى دالة أُسية
- قم بإيجاد الإشتقاق للدالة u وبعد الإنتهاء من إشتقاق الدالة تقوم بضربها في dy/dx
- والآن لكي نستطيع تحويل المعادلة التفاضلية إلى صيغة du/dx ومن خلال الحل الذي توصلنا إليه في آخر خطوة حتى الآن يجب بعد ذلك تحويل المعاملات (بإستثناء عناصر y و dy/dx لأنهم هم العناصر اللتي يجب إستبدالهم) إلى الطرف الآخر, بناء على ذلك وكما هو موضح لك في هذه الصورة سنقوم بتحويل الرقم 2- الى الطرف الآخر مما سيسمح لنا الآن بإمكانية تحويل المعادلة إلى الصيغة الجديدة
توضيح: لاحظ اننا بهذه العملية نستطيع إستبدال "الخانة الأولى" من المعادلة اللتي تحصلنا عليها في الخطوة رقم 1, حيث أن الناتج الذي تحصلنا عليه في الخطوة رقم 2 وهو 1 تقسيم y مرفوع بالأس 3 "ميزتها لك باللون الأخضر" مضروب في dy/dx هي نفس الخانة الأولى من المعادلة اللتي تحصلنا عليها في الخطوة رقم 1 اليس كذلك؟
هذا هو الغرض من الخطوة رقم 2 واللتي يمكن تسميتها بإجراءات التحويل اللتي ستقوم بإدخالها في المعادلة اللتي تحصلت عليها في الخطوة رقم 1, مع التذكير ايضا بإعادة تعريف y من المعادلة رقم 1 بالعنصر u (لأنه كما قلت لك يجب تحويل المعادلة كليا إلى صيغة u, du/dx بدلا من y ,dy/dx)
لنرى كيف سيكون شكل المعادلة بعد التحويل في الخطوة التالية
- تحويل المعادلة التفاضلية إلى صيغة u, du/dx كما هو موضح لك في هذه الصورة
- قم بالتخلص من العنصر 1 تقسيم 2- لأن الشكل الحالي للمعادلة التفاضلية اللتي توصلنا إليها بعد التحويل لا تطابق النمط الأساسي للقاعدة الأساسية للمعادلة التفاضلية الخطية بسبب وجود عنصر زائد وهو هذا الرقم الكسري المضروب في du/dx وبالتالي يجب التخلص منه عن طريق الضرب بالرقم 2- (ارفقت لك القاعدة الأساسية في المستطيل الأخضر مع التذكير مرة اخرى ان عناصر y, dy/dx الموجودة في القاعدة الأساسية قد تم إعادة تعريفها إلى u,du/dx في خطوات الحل بمعنى كلا الصيغتين يحملان نفس المعنى)
- بعد التخلص من الرقم الكسري, تصبح المعادلة التفاضلية مطابقة للقاعدة الأساسية وبالتالي تعرف هذه المعادلة التفاضلية الآن على انها معادلة خطية, وبالإمكان الآن تطبيق الخطوات الأساسية لحل هذه المعادلة الخطية
في الخطوة التالية سوف ارفق لك توضيحا اكثر بخصوص كيفية التأكد بتطابق نمط المعادلة التفاضلية بنفس نمط القاعدة الأساسية
- أحد أهم خطوات حل المعادلات التفاضلية الخطية, هي التأكد أولا فيما اذا كانت المعادلة التفاضلية مطابقة للقاعدة الأساسية ام لا, ارفقت لك توضيحا كاملا حول هذه النقطة لك في هذه الصورة, وبالتالي جميع العناصر مطابقة لنمط القاعدة الأساسية
- إيجاد Mx والمقصود به إيجاد قيمة e مرفوعة بتكامل الأس (لاحظ أن التكامل يشمل فقط درجة القوى او الأس Px)
كما أن Px تعرف او تساوي 2- تستطيع إيجادها من المعادلة التفاضلية الخطية "معامل y أو معامل u"
الغرض من إيجاد Mx هو لأننا بحاجة لها في الخطوات التالية حيث سنجري بعض العمليات على المعادلة التفاضلية الخطية وهو مايتطلب وجود العنصر Mx
- تقوم بأخذ القيمة Mx وتضربها في كل خانة من المعادلة التفاضلية الخطية كما هو موضح لك باللون الأحمر
توضيح: لاحظ في الخانة الثانية من المعادلة تم تجاهل الرقم 2- لأنه لاينبغي كتابته طالما انك إستخدمت العنصر Mx وقمت بضربه في المعادلة التفاضلية (قمت بكتابة هذا الرقم في الجزء الاول من الخطوة رقم 6 لكي اريد التوضيح لك فقط حول هذه النقطة) تذكر دوما طالما أنك إذا انتقلت الى هذه الخطوة قم بتجاهل معامل y او معامل u, طالما هذه المعادلة بصيغة u, اذن سنتجاهل معامل u وهو الرقم 2-
الخطوة السابعة:
- دائما بعد الضرب, قم بتجاهل الخانة الأولى من المعادلة وهي من نظام خطوات الحل, قم بإيجاد التكامل والتفاضل بنفس الوقت للخانة الثانية, ثم بعد ذلك قم بإيجاد التكامل فقط للخانة الثالثة
- ناتج التكامل والتفاضل بنفس الوقت بالنسبة للخانة ثانية دائما يكون نفس القيمة دون تغيير, اما بالنسبة للخانة الثالثة فسوف تجري عليها عملية تكامل عادية كما هو موضح لك في هذه الصورة
الخطوة الثامنة والأخيرة:
- قم بتحويل المعادلة اللتي تحصلت عليها في الخطوة السابعة إلى صيغة الحل العام للمعادلة التفاضلية وهو مايعرف بالإنجليزية General solution وهو بنقل معاملات u إلى الجهة الأخرى (ارفقت لك توضيحا في المستطيل الأخضر حول كيفية تحويل معامل u إلى الجهة الاخرى)
- بعد ذلك تقوم بإعادة تعريف u كما كانت عليه قبل التحويل "تجد ذلك في الخطوة رقم 2", وبذلك تصبح هذه الإجابة هي الإجابة النهائية لهذا التمرين
تعليقات
إرسال تعليق