درس من دروس من دروس مادة المعادلات التفاضلية "Differential equations", تدور فكرة هذا الدرس في تحويل المعادلة التفاضلية بصيغة معادلة برنولي الى معادلة تفاضلية خطية, ومن ثم يتم تطبيق الخطوات الأساسية لحل هذه المعادلة التفاضلية الخطية, حيث أن هنالك خمس خطوات أساسية لحل المعادلات التفاضلية الخطية وقد سبق أن تم شرحها في موضوع سابق, بإمكانك الإطلاع عليه عبر:
كما أنني قمت بإضافة تمرينين حول تطبيق الخطوات الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الخطية, بإمكانك الإطلاع عليها ايضا:
- التمرين الأول:
- التمرين الثاني:
والآن سوف اقوم بشرح مفهوم هذا الدرس وهو كيفية تحويل المعادلة التفاضلية الغير خطية بصيغة معادلة برنولي الى معادلة تفاضلية خطية لكي نستطيع بعد ذلك بتطبيق الخطوات الأساسية لحل هذه المعادلة التفاضلية الخطية
هيا بنا لنبدأ:
تكمن صيغة معادلة برنولي في الرمز y مرفوع بدرجة القوى او الأس n, والمقصود بــ n هو أي رقم ثابت
ولكن يجب الإنتباه الى انه في حالة اذا كان هذا الأس او درجة القوى تساوي 1 او 0 تسمى حينئذ هذه المعادلة التفاضلية بالمعادلة التفاضلية الخطية, بمعنى انها معادلة تفاضلية خطية جاهزة ولا تحتاج الى اجراء بعض العمليات لتحويلها الى معادلة خطية
بينما اذا كانت قيمة الأس غير ذلك فهنا ستكون هذه المعادلة التفاضلية غير خطية وبالتالي يجب هنا تطبيق بعض العمليات او الخطوات لتحويلها الى معادلة تفاضلية خطية
ماهي هذه العمليات او الخطوات؟
سأقوم بشرحها لك, سوف اقوم بتوضيح كل خطوة على حدى
والآن لنبدأ بأولى الخطوات:
الخطوة الأولى:
- طالما اننا نجري خطوات لتحويل المعادلة التفاضلية بصيغة برنولي الى معادلة تفاضلية خطية (ذلك يعني ان المعادلة التفاضلية الحالية غير خطية, ذلك يعني ايضاً ان قيمة n في هذه الحالة لا تساوي 1 ولا تساوي ايضا 0, بل هي تساوي اي رقم آخر)
- قم بالتخلص من y مرفوع بالأس n عن طريق التقسيم بنفس العنصر, ولكن طالما انك قسمت على نفس العنصر يجب ان تقسم للجميع ايضا, بمعنى يجب ان تقسم على كل خانات المعادلة كما هو موضح لك باللون الأحمر
الخطوة الثانية:
- قم بتسمية معامل Px (الخانة الثانية في المعادلة "ما قبل إشارة =") وهي y مقسومة على y مرفوعة بالأس n بالرمز u
- لقد ارفقت لك توضيحا في المستطيل الأخضر حول كيفية تحويل الصيغة من دالة كسرية إلى دالة أُسية
- اوجد الإشتقاق للدالة u, لاحظ ان محتوى u هو y مرفوع بالأس 1 ناقص n , هنا ستجري إشتقاق لهذه الدالة الأسية بحيث تقوم بتنزيل الأس كاملا ولكن بشرط ان يتم طرح 1 من محتوى الأس كما هو موضح لك في هذه الصورة باللون الأحمر
- قمت بتمييز y مرفوع بالأس سالب n باللون الأخضر لكي اوضح لك في الخطوة اللتي تليها كيف قمت بإعادة صياغة هذه الدالة الأٌسية وتحويلها إلى دالة كسرية للتخلص من الإشارة السالبة لأنه بعد التحويل تتغير الإشارة تلقائياً
- قم بنقل معامل هذه الدالة الكسرية وهو 1 ناقص n الى الجهة الأخرى, السبب من القيام بذلك هو لأننا نريد تعويض جزء من المعادلة اللتي تحصلنا عليها من الخطوة رقم 1 بإستخدام هذا التعريف الذي اوجدناه في نهاية الخطوة رقم 2 بالإضافة الى تعويض u ايضاً وهي عملية مهمة ضمن آلية نظام برنولي لتحويل المعادلة التفاضلية الغير خطية الى معادلة خطية
لنرى كيف سيكون شكل المعادلة بعد التعويض في الخطوة التالية
الخطوة الثالثة والأخيرة:
- قمت بتوضيح تفاصيل التعويض في المعادلة اللتي تحصلنا عليها في نهاية الخطوة رقم 1 بإستخدام التعاريف اللتي اوجدناها في الخطوة رقم 2 في هذه الصورة حتى يسهل عليك إستيعابها بشكل اكثر
- بعد التعويض تصبح المعادلة التفاضلية الآن تعرف بأنها معادلة تفاضلية خطية بالنسبة للعنصر u
ولكن لماذا تحديدا u وليس عنصر آخر مثل x؟
الجواب: لأنه متغير تابع ويعرف بالإنجليزية dependent variable, لقد شرحت هذه النقطة الهامة في موضوع سابق تستطيع الإطلاع عليه عبر:
تعليقات
إرسال تعليق