درس من دروس مادة المعادلات التفاضلية "differential equations", سوف أركز في هذه الصفحة حول شرح مفهوم كافة الطرق الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الخطية وهي تمهيداً وتحضيراً لك للتمارين اللتي سأقوم بنشرها قريبا حول هذا الموضوع.
لقد عملت على تقسيم كافة الخطوات الأساسية الى خمس خطوات جمعتهم لك في صورة واحدة بالإضافة الى بعض التوضيحات اللتي قمت بإضافتها في هذه الصورة, وسأقوم بشرح كل خطوة على حدى, لذا تابع معي وشاهد الصورة التالية:
شرح الخطوات:
- في الخطوة الأولى تقوم بكتابة القاعدة الأساسية, ومن ثم التأكد أن المعادلة المعطاة لك في التمرين تكون مطابقة تماما لنمط القاعدة, فإن لم تكن مطابقة للقاعدة بمعنى لم تكن بنفس اسلوب القاعدة ستقوم في هذه الحالة بإجراء بعض العمليات على المعادلة المعطاة حتى تجعلها مطابقة لنفس نمط القاعدة.
المقصود بــ Px هو معامل y ( قد يكون عنصر يحتوي على x او قد يكون مجرد رقم ثابت مثل 1,2,3...الخ)
المقصود بــ Qx هو نفس تعريف Px ولكن الإختلاف هنا أن Qx تكون موجودة في جهة مستقلة في المعادلة وغير مضروبة في y
- في الخطوة الثانية تقوم بإيجاد Mx والمقصود به هو إيجاد الناتج من تكامل الأس الخاص بالدالة e, حيث ستجري تكامل للأس فقط, ويعرف هذا الأس بــ Px , وكما قمنا بتعريف Px المقصود به هو معامل y, اذن ستجري لهذا الأس فقط عملية التكامل, الناتج الذي ستتحصل عليه بعد اجراء عملية التكامل يكون ككل مع الدالة e يعرف بــ Mx
- في الخطوة الثالثة تقوم بأخذ القيمة Mx الذي اوجدتها في الخطوة الثانية وتضربها في كل خانة من المعادلة كما هو موضح لك في الصورة أعلاه باللون الأحمر
- في الخطوة الرابعة, تقوم بتجاهل الخانة الأولى كما هو موضح لك في الصورة أعلاه, لن تحتاج لهذه الخانة وفقا للقاعدة, ومن ثم ستجري عمليتين بنفس الوقت وهي التكامل والتفاضل لخانة Mx y وقمت تمييز هاتين العمليتين باللون الأزرق والأصفر, ولكن بالنسبة للخانة الثالثة ستجري فقط عملية التكامل لها ( انتبه فقط عملية تكامل ستجريها للخانة الثالثة Mx Qx )
أساسيات: ناتج العمليتين التكامل والتفاضل بنفس الوقت بالنسبة للخانة الثانية تساوي نفس القيمة من دون أي تغيير لها, بمعنى حينما تجري العمليتين التكامل والتفاضل لــ Mx y سيكون الناتج نفس القيمة Mx y, يجب عدم نسيان ذلك
ولكن بالنسبة لناتج التكامل للخانة الثالثة من المعادلة Mx Qx سيكون الناتج عادي, مجرد إجراء عملية تكامل عادية والناتج الذي ستتحصل عليه تكتبه مباشرة, لقد قمت بوضع رمز A وهو عبارة عن ناتج التكامل ومن ثم تقوم بإضافة الرمز C والمقصود بهذا الرمز هو ان التكامل "غير محدود" بمعنى انه لا وجود لحدود للتكامل وبالتالي وجب إضافة الرمز C
- في الخطوة الخامسة تقوم بتحويل الحل الذي اوجدته في الخطوة السابقة الى صورة الحل العام او مايعرف بالإنجليزية "General solution" وهي بجعل العنصر y وحيدا في جهة مستقلة ونقل المعاملات الى الجهة الأخرى.
تعليقات
إرسال تعليق