في هذه الصفحة سوف اقدم لك تمرين عن درس الخطوات الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الخطية
ولكن قبل البدء, إن كنت تود بمراجعة ما تم شرحه في موضوع سابق حول مفهوم آلية جميع الخطوات الخمس الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الخطية, انصحك بالإنتقال الى الموضوع الذي قدمت فيه شرح كامل حول كيفية تنفيذ الخطوات كمقدمة لك خلال الرابط المباشر التالي:
https://assas2u.blogspot.com/2021/01/procedure-for-solving-linear.html
والآن هيا بنا لنبدأ:
المطلوب منك إيجاد الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية الموضحة لك في هذه الصورة
طالما اننا ذكرنا مصطلح "خطية" موجودة بصيغة معادلة تفاضلية بالدرجة الأولى, ذلك يعني انه يجب تنفيذ الخطوات الأساسية الخمس اللتي تعلمناها سابقاً ( او ان كنت لم تتعلم الخطوات الأساسية بعد, انصحك بمتابعة المنشورات الأخيرة قبل النظر في هذا التمرين)
لاحظ ان في السؤال ذكر مصطلح "Homogeneous" وهي تعني متجانسة
بمعنى ان هذه المعادلة التفاضلية الخطية هي معادلة تفاضلية خطية متجانسة
(من باب زيادة معلوماتك) لماذا ذكر هذا المصطلح؟ او لماذا سميت هذه المعادلة التفاضلية الخطية على انها معادلة تفاضلية خطية متجانسة؟
الجواب: لأن الخانة الثالثة في المعادلة "ما بعد إشارة يساوي ( = )" مساوية للصفر, وبصيغة اخرى لأن الخانة الثالثة واللتي يرمز لها وفقا للقاعدة بالرمز Qx تساوي صفر, طالما انها تساوي 0 اذن هذه المعادلة التفاضلية الخطية هي معادلة متجانسة (تذكر ذلك).
والآن لنبدأ بأولى خطوات حل هذا التمرين واللتي ستكون احد أولى الخطوات الخمس الأساسية لحل المعادلة التفاضلية الخطية:
الخطوة الأولى:
- التأكد فيما اذا كانت المعادلة التفاضلية المعطاة لك في التمرين مطابقة لنمط القاعدة ام لا
ماذا يعني ذلك؟
يعني ان كل العناصر الموجودة في المعادلة التفاضلية المعطاة لك مطابقة بنفس شكل وأسلوب القاعدة الأساسية (يجب التأكد من ذلك)
كما هو موضح لك في هذه الصورة, ان كل العناصر مطابقة للقاعدة وبالتالي شكل هذه المعادلة مقبولة ولا تحتاج الى احداث اي تغيير لها لجعلها مطابقة للقاعدة
سؤال: في القاعدة وتحديدا عند رمز Px ظهر قبل هذا الرمز إشارة +, بمعنى ان هذا الرمز موجب, بينما في المعادلة المعطاة ظهر ان هنالك إشارة سالب بعد dy/dx, اليس ذلك مخالف لنمط القاعدة؟
الجواب: لا, إشارة الموجب الموجودة في القاعدة لا تعني ان Px يجب ان تكون قيمتها موجبة, فإذا كانت القيمة سالبة فذلك لايؤثر في نمط القاعدة اطلاقاً, من المهم ان العناصر تكون موجودة
P(x) --> موجودة وهي تساوي سالب 2
Q(x) --> موجودة ولكنها ظهرت على صورة رقم ثابت وهو 0
كل العناصر موجودة, ولا يوجد عنصر زائد مؤثر في المعادلة المعطاة, وبالتالي يمكننا القول ان المعادلة المعطاة في هذا التمرين مطابقة تماما للقاعدة الأساسية (وهذه هي اولى خطوات الحل)
المقصود به إيجاد الناتج من تكامل درجة القوى او أس الدالة e ( انتبه التكامل هنا يتم فقط للأس وليس للدالة كاملة)
بعد اجراء التكامل, يكون الناتج الكلي مع العنصر e هو Mx
الغرض من إيجاد Mx هو لأننا بحاجة لها في الخطوات الأساسية التالية, اذن يجب إيجاد هذه القيمة اولا
كما هو موضح لك في هذه الصورة, ستجري عملية تكامل لدرجة القوى او الأس والمقصود هنا ستجري عملية التكامل للرمز Px والذي يعرف بالقيمة سالب 2, وبالتالي حينما نجري عليه عملية تكامل بالنسبة لـ x, سيكون الناتج هو سالب 2x
اذن الناتج النهائي لــ Mx يساوي e مرفوعة بالأس 2x-
- بعد إيجاد Mx في الخطوة الثانية, تقوم اذن في هذه الخطوة بأخذ هذه القيمة وضربها في كل خانة من المعادلة كما هو موضح لك في هذه الصورة باللون الأحمر
تنويه: لاحظ انه في هذه الخطوة لم نكتب قيمة Px واللتي تساوي سالب 2 في المعادلة, بمعنى تم ضرب Mx مباشرةً في y
في هذه الخطوة سوف تستبعد الرمز Px لماذا؟
الجواب: يتم تجاهل Px طالما اننا استخدمنا Mx وضربها في كل خانة من المعادلة, لذا انصح بتجاهل هذه القيمة في حالة انتقلت الى هذه الخطوة وهي ضرب القيمة Mx في كل خانة من المعادلة
- بعد أخذ قيمة Mx وضربها في كل خانة من المعادلة, ستقوم بعد ذلك في هذه الخطوة بتجاهل الخانة الأولى وهي خانة dy/dx وفقا لآلية او نظام الخطوات الأساسية لحل المعادلة التفاضلية الخطية, يجب تجاهل الخانة الأولى, وتجري عملية تكامل وتفاضل "بنفس الوقت" للخانة الثانية وهي الخانة اللتي يوجد بها عملية ضرب Mx في y
ومن ثم ستجري عملية تكامل فقط للخانة الثالثة, بمعنى ستجري عملية تكامل للرقم 0
الناتج من اجراء التكامل والتفاضل بنفس الوقت يساوي نفس القيمة دون اي تغيير يذكر, وبالتالي كما ترون في هذه الصورة, ان الناتج كما هو e مرفوعة بالأس سالب 2x مضروبة في y
اما الناتج من تكامل الرقم 0 يساوي C
سؤال: افرض اذا كان الرقم 2 بدلا من الرقم 0, هل سيكون ناتج التكامل ايضا c ؟
الجواب: لا, سيكون 2x + c, لاحظ ان 2 مضروبة في x بعد التكامل وهذا تفسيره واضح لان الرقم 2 مضروب في المجهول x وبالتالي يصبح 2x وتصبح ناتج التكامل النهائي يساوي:
2x + c
ولكن طالما ان الرقم لدينا هنا 0, اذن بعد التكامل "أي بعد إضافة x" ستكون في هذه الحالة صفر مضروبة في x, وحينما يكون x مضروب في 0 سيكون الناتج 0 ( اي رقم او مجهول مضروب في صفر الناتج سيكون صفر), اذن الناتج النهائي للتكامل يساوي:
0 + c = c
لهذا السبب تم كتابة الرمز c فقط ( الرمز c يتم كتابته دائما حينما يكون التكامل غير محدود, بمعنى لا وجود لحدود للتكامل )
- بعد الحل الذي توصلت إليه في الخطوة الرابعة, تقوم في هذه الخطوة بتغيير صورة او شكل الحل إلى شكل الحل العام للمعادلة وهو مايعرف بـالانجليزية
General solution or Explicit solution
بمعنى جعل العنصر y وحيدا في جهة مستقلة مرفوعة بالأس واحد ان امكن ونقل المعاملات له الى الجهة الأخرى كما هو موضح لك في هذه الصورة.
وبهذا تكون هذه الإجابة هي الإجابة النهائية لهذا التمرين
لقد ارفقت لك بعض التوضيحات لتقوية أساسياتك في بعض تفاصيل الحسابات بخصوص الخطوة الخامسة في الجزء الأيمن من الصورة واللتي ستساعدك لاستيعاب الجواب النهائي لهذا التمرين.
تعليقات
إرسال تعليق