في هذا المثال سوف نتعلم اساسيات التكامل المحدود, سبب تسمية التكامل بالتكامل المحدود لأنه يبدأ بحد معين وينتهي بحد معين, وكما هو موضح في الصورة أعلاه ان بداية حد التكامل هو 0 ونهاية الحد هو 8, هيا بنا نبدأ بحل هذا المثال:
سوف نقوم بإجراء عملية التكامل للدالة اللتي تحتوي على X + 6, ولكن قبل ذلك يجب ان تعلم انك سوف تكامل بالنسبة لأي متغير بالضبط؟
الجواب: ضع تركيزك في الرمز dx, هذا الرمز هو الجواب لسؤالنا, حيث انك سوف تكامل الدالة بالنسبة للمتغير X, بصيغة اخرى سوف تضيف X على كل عنصر موجود في الدالة, والآن لنبدأ بأول عنصر موجود في الدالة وهو X ونجري عليه عملية التكامل بإضافة X للعنصر X, حينما تضيف X للعنصر X يصبح المعنى هنا انك تقوم بضرب X في X, وفي ضرب المتغيرات بنفس النوع "يعني لديك X مضروبة فيX" هنا وجب عليك جمع قيمة الأسس بمعنى تجمع الأس بالنسبة لــ X الموجودة في الدالة مع الأس الخاص بــ X القادم من اجراء التكامل, وبالتالي 1+1 = 2 , وبالتالي سوف تصبح قيمة الأس الجديدة الخاصة بــ X بعد إجراء عملية التكامل تساوي 2, ولكن هل اكتمل التكامل؟
الجواب:لا, يجب ان تقسم على عدد معين, هذا العدد يكون نفس قيمة الأس بعد التكامل, وبما انه اصبحت قيمة الأس بعد التكامل تساوي 2, اذن يجب قسمة X المرفوعة بالأس الجديد 2 على 2 وهكذا يكتمل التكامل بالنسبة للعنصر X.
اما بالنسبة للرقم 6 فبعد اجراء عملية التكامل بالنسبة للمتغير X, بمعنى نضيف X للرقم 6, بمعنى اخر ان 6 سوف تكون مضروبة في X يصبح ناتج التكامل هنا يساوي 6X
سؤال:لماذا لم نقسم 6X على عدد معين مثل مافعلنا حينما اجرينا التكامل لــ X؟
الجواب: لقد تم قسمة 6X على عدد معين ولكنه لا يكتب, ركز في قيمة الأس الخاصة بـ 6X, لاحظ انها مرفوعة بالأس 1, وطالما قسمت 6x على 1 سوف تحصل على نفس النتيجة بحيث انها تساوي 6x, وبالتالي دائما 1 لايكتب لأنه نفس النتيجة ولكن يجب ان تفهم المعنى ونظام التكامل, جيد والآن شاهد الصورة التالية:
لاحظ في الخطوة الأولى بعد إجراء عملية التكامل, تم وضع الدالة بين قوسين وهذا مهم, ثم انه يجب في نهاية القوس من جهة الأعلى تقوم بكتابة قيمة الحد الأخير للتكامل وهو 8, بينما في الجهة السفلى تقوم بكتابة قيمة بداية حد التكامل وهو 0, وهذه خطوة هامة جدا لتعريف نظام التكامل المحدود لديك.
والآن لاحظ في الخطوة الثانية سوف نقوم بتعويض قيمة الحد الأخير وهو 8 أولا, يجب ان تبدأ بالحد الأخير او الحد الموجود في اعلى رمز التكامل وهو 8, اذا قمت بالبدء بالحد الموجود في الأسفل وهو 0 فذلك لا يعتبر من نظام التكامل الصحيح, عليك الإنتباه جيدا لهذه النقطة
والآن لنبدأ بالحد الأعلى وهو الرقم 8, كل ماعليك فعله هو تعويض قيمة X بالرقم 8, لاحظ في الصورة أعلاه تم كتابة الرقم 8 باللون الأخضر لتوضيح التعويض الذي حدث في الدالة بعد اجراء عملية التكامل, حيث ان التعويض لايحدث الا بعد اجراء التكامل اولا ومن ثم يبدأ التعويض, وكما هو موضح تم تعويض قيم X بالرقم 8 باللون الأخضر, وبعد ذلك لابد من وضع إشارة الطرح "-" حتى نستطيع الإنتقال لتعويض X بقيمة الحد 0, لايمكننا التعويض الا بعد كتابة إشارة الطرح لأنه لابد من فصل كلا التعويضين عن بعضهم البعض بوضع اشارة الطرح لأننا فيما بعد سوف نجري عملية الطرح هذه بعد التعويض, لذا انتبه جيدا لهذه النقطة
والآن بعد ما تم فصل كلا التعويضين بإشارة الطرح وتعويض قيمة X بالحد الآخر 0 , نكمل عملية الحساب لنتحصل على الجواب النهائي لهذا التكامل حيث انه يساوي 80.
تعليقات
إرسال تعليق