في هذا المثال سوف نتعلم حول كيفية إشتقاق الدالة اللتي تحتوي على Lnx وكيفية عمل إشتقاق مرتين لهذه الدالة.
والآن لنبدأ:
للوصول الى الإشتقاق الثاني لهذه الدالة لابد اولا من اجراء عملية الإشتقاق الأولى dy/dx واللتي من خلالها نستطيع إجراء عملية الإشتقاق الثانية d2y/dx2.
شاهد الصورة التالية:
لاحظ في الصورة أعلاه أن إشتقاق او تفاضل Lnx هو 1 مقسوم على x, ولكن كيف حدث ذلك؟, سوف نقوم بالتوضيح لك اكثر حتى تتعلم كيفية الحصول على هذا الناتج من التفاضل, شاهد الصورة التالية:
لاحظ ان قيمة الأس او الدرجة الخاصة بمحتوى Ln وهو x انها مرفوعة بالأس 1, اليس كذلك؟
جيد, والآن قم بإعادة صياغة هذه الدالة بتنزيل قيمة الأس 1 الى جانب Ln كما موضح باللون الأحمر في الصورة أعلاه, حيث اننا هنا لم نجري عملية الإشتقاق او التفاضل وانما فقط قمنا بإعادة صياغة الدالة "بمعنى ان الدالة اللتي باللون الأحمر هو نفس المعنى بالنسبة للدالة باللون الأسود".
ممتاز هدفنا من هذه النقطة هو لتبسيط الأمر عليك ولجعل عملية التفاضل او الإشتقاق تبدو اسهل بكثير, والآن بعد اعادة صياغة الدالة, قم بتحديد a,b كما موضح في الصورة أعلاه, حيث ان:
a ---> هو الرقم بجانب Ln
b ----> هو محتوى Ln وهو x
والآن بعد تحديد a,b كل ماعليك هو إيجاد عملية التفاضل الأولى بتطبيق القاعدة الموضحة في الصورة أعلاه في المستطيل الأزرق, وبالتالي تكون النتيجة كما هو موضح في الخطوة الأخيرة من الصورة أعلاه ان الجواب الخاص بعملية الإشتقاق الأولى للدالة Lnx هو 1 على x.
ممتاز, والآن لننتقل لإجراء عملية الإشتقاق الثانية واللتي ستكون خاصة بالدالة اللتي اجرينا فيها عملية الإشتقاق الأولى"بمعنى اخر دالة اجري عليها عملية إشتقاق, سوف نجري عليها عملية إشتقاق ثانية", وبالتالي الدالة اللتي سنشتقها او نفاضلها هي 1 على x, شاهد الصورة التالية:
لاحظ في الصورة أعلاه, قمنا بإعادة صياغة الدالة لجعلها تبدو أسهل بكثير لإجراء عليها عملية الإشتقاق, نلاحظ ان الدالة في الأساس هي دالة كسرية "1 على x", قم بإعادة صياغتها بإنتقال x من المقام إلى البسط بشرط: يجب تغيير إشارة قيمة الأس ليتم الإنتقال, اذن طالما اننا نريد انتقال x من المقام إلى البسط لجعل الدالة تبدو أسهل للإشتقاق كل ماعلينا فعله هو تغيير إشارة قيمة الأس, وكما نعلم ان قيمة الأس هو 1, وبالتالي بعد عملية الإنتقال الى البسط تصبح قيمة الأس تساوي 1-, وكما هو موضح في المستطيل الأزرق ان المعنى واحد لقد قمنا بإعادة صياغة الدالة فقط ولم نجري عليها عملية الإشتقاق
والآن بعد اعادة الصياغة اصبحت الدالة تحتوي على x مرفوعة بالأس 1- , وبالتالي اصبحت اسهل للإشتقاق اليس كذلك؟, جيد والآن ماهو إشتقاق x مرفوعة بالأس 1-؟
الجواب: 1- على x مرفوعة بالأس 2 كما هو موضح في الصورة أعلاه في الخطوة الأخيرة, شرح عملية الإشتقاق هذه تكون كالآتي:
اولا عليك إنزال قيمة الأس 1- الى جانب x ولكن بشرط: يجب طرح 1 من قيمة الأس ليتم التنزيل, وبالتالي 1- ناقص 1 يساوي 2-, شاهد الصورة أعلاه في الخطوة ماقبل الاخيرة, لاحظ ان قيمة الأس 1- نزلت بجانب x واصبح قيمة الأس يساوي 2-, وهكذا تم الحصول على الإجابة وهي الإشتقاق الثاني للدالة, ولكن هل يمكننا تبسيط الإجابة بحيث جعل الدالة تبدو افضل "شكليا"؟
الجواب: نعم, لاحظ ان هنالك إشارة سالب موجودة بقيمة الأس , كيف يمكننا التخلص منه؟, تستطيع ذلك بعمل اعادة صياغة للدالة كما فعلنا سابقا, قم بإجراء عملية انتقال x من الأعلى الى الأسفل لجعل الدالة كسرية كما كانت في السابق, ولكن لإنتقال x المرفوعة بالأس 2- من الأعلى الى الأسفل يجب تغيير إشارة قيمة الأس ليتم الإنتقال, وبالتالي كما هو موضح في الصورة أعلاه في الخطوة الأخيرة تم انتقال x الى الأسفل واصبحت في المقام كما ان إشارة الأس تغيرت من السالب الى الموجب واصبحت الدالة كسرية وبالتالي هي الإجابة النهائية لهذا المثال.
تعليقات
إرسال تعليق