Arc Length in Space
درس من دروس مادة علم التفاضل والتكامل "Calculus", سوف نركز في هذا الدرس في الجانب الحسابي, حيث يتطلب علينا إيجاد طول المنحنى او مايعرف بــ Length of the curve, سنقوم بشرح خطوات الحل ومن ثم سنقدم لك مثال مدعما بالطرق التوضيحية حتى تصل المعلومة إليك بشكل افضل.
والآن هيا بنا لنبدأ:
كما هو موضح في الصورة أعلاه, هنالك قاعدة يتطلب علينا إستخدامها لكي نوجد قيمة Length of the curve بمعنى إيجاد قيمة L, ترتبط القاعدة بنقطتين هامتين وهما:
- التفاضل او الإشتقاق
- التكامل
حيث انه لابد من إجراء عملية التفاضل او الإشتقاق للدالة ومن ثم ناتج هذا الإشتقاق ستجري عليه عملية التكامل واللتي ستقودك بعد ذلك للجواب النهائي وهو إيجاد قيمة L
ملحوظة: عملية الإشتقاق او التفاضل مرتبطة بالدالة r واللتي تحتوي على العناصر x,y,z حيث ستجري على كل عنصر عملية التفاضل
في الصورة أعلاه, قمت بالتوضيح لك بعض النقاط الهامة, للحصول على القيم او محتوى الجذر التربيعي بالنسبة للقاعدة الخاصة بـ L يجب عليك اولا من اجراء عملية الإشتقاق للدالة r كما هو موضح في المستطيل البرتقالي, الأخضر, والرمادي
هنالك صيغة اخرى للقاعدة كما هو موضح في الصورة أعلاه, حيث ان L تساوي تكامل القيمة المطلقة V, تعريف القيمة المطلقة V هي نفس المعنى الموجود في الصيغة الأولى مع إضافة القيمة المطلقة "بمعنى آخر يجب ان تكون قيم محتوى الجذر التربيعي بعد إضافة رمز القيمة المطلقة قيم موجبة, فإذا كانت هنالك إشارة سالبة لقيمة معينة على سبيل المثال سوف تتحول إلى موجبة".
والآن لننتقل الى حل المثال التالي:
المطلوب في هذا المثال هو إيجاد قيمة L, لكي نوجد هذه القيمة لابد من التركيز أولا على المعطيات من خلال هذا المثال وهي الدالة r بالإضافة إلى حدود التكامل وهي من 0 إلى 2π
سأرفق لك الصورة التالية موضحا لك كافة خطوات الحل
من خلال الصورة أعلاه:
- يجب أن تبدأ بكتابة القاعدة أولا
- قم بإجراء الإشتقاق للدالة r كما هو موضح في المستطيل البرتقالي, ومن ثم قم بالتعويض في القاعدة مباشرة
- المستطيل الرمادي يظهر لك بعض التوضيحات الهامة بخصوص سبب تغيير الإشارة من السالب الى الموجب, حيث ان السبب هو وجود رمز القيمة المطلقة حيث لابد أن تكون الإشارة موجبة لجميع القيم وبالتالي لابد من تغيير الإشارة السالبة إلى موجبة, كما ان هنالك توضيح آخر موجود في المستطيل الرمادي والذي يوضح فيه قاعدة مهمة وهي من أساسيات علم التفاضل والتكامل يجب عليك معرفتها وعدم نسيانها
- بعد الإنتهاء من اجراء عملية الإشتقاق والتعويض في القاعدة ومن ثم الحصول على قيمة v, ستقوم بعد ذلك مباشرة بإجراء عملية التكامل لقيمة v بإضافة t
- بعد إجراء عملية التكامل ستقوم بتعويض t بحدود التكامل, لقد قمت بتوضيحها لك باللونين الأزرق والأخضر
- بعد الإنتهاء من التكامل والتعويض بحدود التكامل, تستطيع الآن حساب قيمة L
تعليقات
إرسال تعليق