التكامل بالتعويض- Integration of substitution
احد الدروس الهامة في المواد المتعلقة بالتكامل "Calculus" والمعادلات التفاضلية "Differential equations", سنقوم في هذه الصفحة بالتركيز حول شرح مفهوم إستخدام هذا الأسلوب من التكامل والذي يعرف بــ التكامل بالتعويض (ماهو التكامل بالتعويض؟ متى يحين إستخدامه؟ ماهو الغرض منه؟) بالإضافة الى مثال سنطبق عليه خطوات حل التكامل بالتعويض.
والآن هيا بنا لنبدأ:
ماهو التكامل بالتعويض؟
من اسمه "تعويض" ستقوم بإجراء تعويض في التكامل بحيث تقوم بتعويض دالة معينة برمز مثل U بالإضافة الى تحويل رمز الإضافة مثلا dx الى الرمز الجديد du
مثال:
Cos(x + 1) dx ---> تعويض ---> Cos(u) du
سنشرح هذه الخطوات بشكل ادق في النقاط التالية.
المطلوب من خلال هذا المثال, هو إيجاد التكامل لدالتين مضروبين في بعض حيث ان:الدالة الأولى هي 2x
الدالة الثانية هي Cos x2+1
تذكر دوماً, لايمكن إيجاد التكامل بشكل مباشر حينما تكون الدالتين مضروبة في بعض
ما هو الحل اذن؟
يجب البحث عن طريقة لإيجاد هذا التكامل من خلال قراءة هذه الدالة وإستنتاج الأسلوب المناسب, سوف اساعدك على ذلك من خلال الصورة التالية:
من خلال الصورة أعلاه, نستطيع الإجابة الآن على السؤال (متى يحين إستخدام التكامل بالتعويض؟)
يجب استخدام التكامل بالتعويض اذا كانت احد الدالتين هي إشتقاق او تفاضل الدالة الأخرى, لقد ميزت كلا الدالتين باللونين الأحمر والأخضر حتى اوضح لك ذلك
لاحظ ان الدالة الخضراء هي إشتقاق الدالة الحمراء, في هذه الحالة وجب إستخدام التكامل بالتعويض (تذكر هذه النقطة جيداً)
والآن بعد التأكد في استخدام اسلوب التكامل بالتعويض, لننتقل الآن الى الخطوة الأولى من حل هذا المثال:
تعليمات من الخطوة الأولى "إجراءات التعويض":
- قم بتعويض الدالة الحمراء "الدالة الغير مشتقة" بالرمز U
- اوجد الإشتقاق لدالة U
- قم بإيجاد dx من خلال ناتج الإشتقاق, لقد قمت بالتوضيح لك كيفية ايجاد dx في المربع الأزرق
لننتقل الآن الى الخطوة الثانية "التعويض في التكامل":
تعليمات من الخطوة الثانية :
- التعويض مباشرة في التكامل, حيث ستقوم بتعويض الدالة الحمراء بالرمز U وتعويض dx ايضاً
والآن هنا تأتي الإجابة لهذا السؤال (الغرض من استخدام التكامل بالتعويض؟)
الجواب: كما هو موضح في الصورة أعلاه, الغرض من استخدام التكامل بالتعويض هو لحذف دالة واحدة من الدالتين وتحويل الدالتين الى دالة واحدة لإجراء عملية التكامل عليها بشكل مباشر
لاحظ بعد التعويض اصبحت دالة التكامل عبارة عن: Cos(u)du
لننتقل الآن الى الخطوة الثالثة "إجراء عملية التكامل":
تعليمات من الخطوة الثالثة:
- قم بإجراء عملية التكامل بشكل مباشر, حيث ان تكامل Cosu هو Sinu
- قم بإضافة الرمز الثابت C, المقصود بهذه الإضافة ان التكامل هو تكامل غير محدود بسبب عدم وجود حدود معينة لهذا التكامل
- قم بإعادة تعريف U كما كانت قبل التعويض, لتصبح بعد ذلك الجواب النهائي لهذا المثال
تعليقات
إرسال تعليق