درس من دروس مادة المعادلات التفاضلية "differential equations", وهي تعني المعادلات الدقيقة.
لهذه المعادلات خطوات حل أساسية ولكن قبل الدخول في تفاصيل كافة الخطوات الأساسية, اريد التوضيح لك حول مفهوم المعادلات الدقيقة
كيف تحدد المعادلة من حيث كونها معادلة دقيقة ام غير دقيقة (Exact or non-Exact equation)؟
سوف اقوم بالإجابة على هذا السؤال من خلال تقديمي لك مجموعة من التمارين واللتي سوف تساعدك في تحديد المعادلة من حيث كونها Exact أو Non exact, لنبدأ:
المطلوب في هذا التمرين كما هو موضح في هذه الصورة تحديد المعادلات الآتية من حيث كونها معادلات Exact "دقيقة" او Non exact "غير دقيقة".
هنالك خطوات لتحديد المعادلة سواء كانت معادلة دقيقة ام غير دقيقة, سوف اقدم لك الإجابة لكل فقرة على حدى موضحا فيها كافة الخطوات
الخطوة الأولى:
- تحديد Mx,y ,Nx,y حيث أن:
Mx,y --> المقصود به الدوال اللتي ترتبط بالرمز dx
Nx,y --> المقصود به الدوال اللتي ترتبط بالرمز dy
الخطوة الثانية:
- إيجاد الإشتقاق لــ Mx,y ولكن هذا النوع من الإشتقاق سيكون إشتقاق جزئي بحيث أنك ستشتق بالنسبة لـ y فقط, اما العناصر الآخرى فسيكون إشتقاقها 0 سواء كانت هذه العناصر ثابتة مثل الأرقام او مجاهيل غير y مثل x, الا في حالة كانت هذه العناصر سواء الأرقام او المجاهيل مضروبة في y فسوف يتم التعامل معها في هذه الحالة كعنصر ثابت "يكتب نفس العنصر دون اجراء عليه اي تغييرات سواء بإعتباره 0 او بإشتقاقه"
- إيجاد الإشتقاق الجزئي ايضا لــ Nx,y بحيث أنك ستشتق بالنسبة لـ x فقط, اما العناصر الآخرى فسيكون إشتقاقها 0 سواء كانت هذه العناصر ثابتة مثل الأرقام او مجاهيل غيرx مثل y, الا في حالة كانت هذه العناصر سواء الأرقام او المجاهيل مضروبة في x فسوف يتم التعامل معها في هذه الحالة كعنصر ثابت
لذلك تمت تسمية هذا النوع من الإشتقاق بالإشتقاق الجزئي لأنك ستشتق عنصر معين لكل من Mx,y و Nx,y
الخطوة الثالثة:
- في حالة تساوي نتائج الإشتقاق لكل من Mx,y و Nx,y تسمى المعادلة بالمعادلة الدقيقة "Exact equation", اما في حالة كانت النتائج غير متساوية اذن ستكون المعادلة غير دقيقة "Non-exact equation"
- بناءً على حل هذه المعادلة وكما هو موضح في الصورة, اصبحت القيمتين متساوية بعد اجراء الإشتقاق الجزئي, وبالتالي تسمى هذه المعادلة بــ Exact equation.
تعليمات من حل الفقرة الثانية:
- قم بتطبيق نفس الخطوات اللتي وضحتها لك في حل الفقرة الأولى
- انتبه في هذه الفقرة لاحظ أن الخانة الأولى ظهرت الدالة بدلالة الرمز dy, اما في الخانة الثانية ظهرت بدلالة الرمز dx عكس الفقرة الأولى, لذلك انبهك بعدم الإستعجال والتركيز اولا بتحديد الدالة بدلالة كل رمز حتى تستطيع إيجاد الدالتين Mx,y, Nx,y بالشكل الصحيح
- كما هو موضح لك في هذه الصورة, بعد إجراء عملية الإشتقاق الجزئي تبين لنا أن القيمتين غير متساوية وبالتالي تسمى المعادلة Non-exact equation
تعليمات من حل الفقرة الثالثة:
- لاحظ ان في هذه الفقرة اختلفت شكل الدالة عن الفقرتين الأولى والثانية, في هذه الحالة سوف تقوم بإعادة ترتيب المعادلة, بحيث تقوم أولا بنقل العنصر dx للجهة الأخرى ومن ثم تقوم بنقل الدالة اللتي ترتبط بالرمز dy الى الجهة الأخرى ايضا حتى تصبح المعادلة جاهزة لتطبيق الخطوة الثانية مباشرة وهي تحديد العناصر Mx,y, Nx,y, ثم بعد ذلك تجري عملية الإشتقاق الجزئي لكل دالة
- كما هو موضح لك في هذه الصورة, اصبحت القيمتين بعد الإشتقاق الجزئي متساوية وبالتالي تعرف هذه المعادلة بــ Exact equation
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
رائع, اصبحت الآن مؤهلا في قدرتك على تحديد المعادلات التفاضلية من حيث كونها معادلات دقيقة او غير دقيقة, بإمكانك الآن الإنتقال مباشرةً الى الموضوع التالي والذي سوف اقوم بالتوضيح فيه وشرح كافة الخطوات الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الدقيقة خلال الرابط التالي:
تعليقات
إرسال تعليق