في هذه الصفحة سوف اقوم بتوضيح كافة الخطوات الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الدقيقة واللتي عملت على تقسيمها إلى خمس خطوات أساسية, ولكن قبل البدء إن كنت تود بمراجعة ما تم شرحه حول مفهوم المعادلات الدقيقة او كيفية تحديد المعادلات التفاضلية من حيث كونها معادلات تفاضلية دقيقة او غير دقيقة تفضل بالإنتقال الى الموضوع مباشرةً عبر الرابط التالي:
لنبدأ:
- الخطوة الأولى: تحديد الدوال Mx,y, Nx,y
حيث أن M مرتبطة بالدوال اللتي تحتوي على الرمز dx
أما N ترتبط بالدوال اللتي تحتوي على الرمز dy
- الخطوة الثانية: إيجاد الإشتقاق الجزئي لكل من Mx,y, Nx,y
بالنسبة لــ M ستجري عليها عملية الإشتقاق الجزئي بالنسبة للعنصر y, بينما الدالة N ستجري عليها عملية الإشتقاق الجزئي بالنسبة للعنصر x
في حالة تساوي القيمتين بعد الإشتقاق الجزئي تصبح المعادلة دقيقة "Exact" وبالتالي تستطيع الإنتقال الى الخطوة الثالثة مباشرة, واذا كانت القيمتين بعد الإشتقاق الجزئي غير متساوية فتصبح معادلة غير دقيقة "Non exact" وبالتالي ستتوقف لأنك لا تستطيع الإنتقال الى الخطوة الثالثة طالما ان المعادلة غير دقيقة
- الخطوة الثالثة: ستجري إعادة تعريف لكل من Mx,y, Nx,y كما هو موضح لك في الصورة
في هذه الخطوة ستقوم فقط بإعادة تعريف دون اجراء أي عملية حسابية
الخطوة الرابعة:
إيجاد محتوى او قيمة fx,y, يتم ذلك من خلال طريقتين "لك حرية الاختيار" كلا الطريقتين صحيحة
قمت بترتيب كلا الطريقتين لك في مستطيلين باللون الرمادي والأخضر ليسهل عليك الأمر في إيجاد الفرق بين كلا الطريقتين, حيث أن بالنسبة للطريقة الأولى قمت بتقسيم العمليات اللتي ستجريها بإستخدام هذه الطريقة في أربعة فقرات
الفقرة الأولى: إيجاد fx,y والمقصود به إيجاد التكامل لمحتوى Mx,y فقط
(الرمز gy هو رمز مجهول لن تستطيع إجراء عملية التكامل عليه حيث أن التكامل يشمل فقط محتوى Mx,y, بينما هذا الرمز gy ستكتبه وسيبقى مجهولا كما هو في هذه الخطوة مؤقتا لحين إيجاد قيمته من خلال الخطوات التالية
- الفقرة الثانية: بعد عملية التكامل للمحتوى Mx,y ستجري عملية التفاضل او الإشتقاق للقيمة اللتي تحصلت عليها بعد التكامل ولكن هذا الإشتقاق جزئي وستشتق فقط بالنسبة للعنصر y (كما أن الإشتقاق يشمل العنصر المجهول gy) حيث أنك ستقوم بإشتقاقه ايضا بوضع رمز كإشارة الفتحة او الشرطة او مايعرف بالإنجليزية Prime فوق رمز gy كدلالة أنك طبقت عليه عملية الإشتقاق
- الفقرة الثالثة: عمل مقارنة بين الحل الذي توصلت إليه في الفقرة الثانية والقيمة Nx,y, بحيث أنك ستكتب الحل الذي توصلت إليه في الفقرة الثانية في جهة ومن ثم ستكتب محتوى Nx,y في جهة أخرى (بمعنى بين القيمتين إشارة يساوي " = " ) ومن هنا تستطيع تبسيط المعادلة لأنه سيظهر لديك متشابهات في المجاهيل والأرقام الثابتة وتستطيع عمل شطب مما يتيح لك تبسيط المعادلة, العنصر المجهول الذي لن يشمله الشطب هو إشتقاق gy, سوف تلاحظ بعد التبسيط أن لهذا الرمز المجهول قيمة معينة, اذا وصلت لهذه الحالة من المعادلة فأنت في الطريق الصحيح وبإمكانك الإنتقال الى الفقرة الرابعة, ولكن إن لم تستطع تبسيط المعادلة ولم يكن هنالك متشابهات في المجاهيل مما يتيح لك الشطب وتبسيط المعادلة فهذا يعني أن هنالك خطأ لم تنتبه عليه في الخطوات السابقة ينبغي عليك حينها مراجعة حلك مرة اخرى, لأن الفكرة المختصرة للفقرة الثالثة هي تبسيط المعادلة تمهيدا للإنتقال للفقرة الرابعة وإيجاد العنصر المجهول gy
- الفقرة الرابعة: إيجاد العنصر المجهول gy, ولكن كيف؟
الجواب: لقد تحصلت على قيمة إشتقاق gy في الفقرة الثالثة بعد تبسيط المعادلة اليس كذلك؟, جيد والآن كل ماعليك فعله هو إجراء عملية تكامل لقيمة او محتوى إشتقاق gy
بعد إيجاد قيمة او محتوى ناتج عملية التكامل سيتحول رمز الإشتقاق gy "رمز الإشتقاق المقصود به علامة الفتحة او الشرطة او prime" فوق العنصر المجهول ليصبح عنصر عادي دون علامة فوق العنصر وهذه دلالة أنك اتممت عملية التكامل, وبهذا سيصبح لـ gy قيمة معينة وهي ناتج هذا التكامل مما يعني أنك بالفعل اوجدت قيمة gy
ستقوم في هذه الحالة بتعويض هذه القيمة gy في الفقرة الثانية تمهيدا للإنتقال للخطوة الخامسة
تنويه: الطريقة الثانية ستكون نفس اسلوب الطريقة الأولى مع اختلاف العناصر اللتي ستستخدمها في هذه الخطوة كما هي موضحة لك في المستطيل الأخضر
- الخطوة الخامسة: بعد إيجاد قيمة او محتوى fxy, ستقوم بعد ذلك بكتابة هذا النمط من الحل كما هو موضح لك باللون الأحمر (قم بإستبدال fx,y بالمحتوى او القيمة اللتي اوجدتها ومن ثم اكتبها بنفس هذا النمط) لتصبح بذلك هي الإجابة النهائية
هذه هي الخطوات الخمس الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الدقيقة, قريبا سوف اقوم بنشر تمرين حول هذا الموضوع لتقويتك بشكل اكبر في هذا الدرس
تعليقات
إرسال تعليق