يطلب المثال إيجاد التفاضل لدالة تحتوي على دالتين مضروبة في بعض + تحتوي على دالة كسرية.
في علم التفاضل, هنالك قاعدة خاصة للدوال المضروبة في بعض وتسمى" Product role ", كما أن هنالك قاعدة خاصة بالدوال الكسرية وتسمى " Quotient role ", وبالتالي لحل هذا المثال لابد من تطبيق هاتين القاعدتين للوصول الى الحل النهائي.
لنتعرف أولا على قاعدة الدوال المضروبة في بعض " Product role ", واللتي يمكن اختصارها بالأسلوب الآتي:
الأول في إشتقاق الثاني + الثاني في إشتقاق الأول
ملحوظة: كلمة (في) تعني مضروبة, بمعني الأول مضروب في الثاني + الثاني مضروب في الأول
حينما نتحدث عن هذه القاعدة تحديدا فنحن هنا نتحدث عن دوال مضروبة في بعض, انظر الى المثال, حدد من هم الدوال المضروبة في بعض؟
الجواب: SinxCosx
بعد تحديد الدوال المضروبة في بعض, لنبدأ في إشتقاقها بتطبيق القاعدة الخاصة بها :
الأول في إشتقاق الثاني + الثاني في إشتقاق الأول
- الأول: Sinx
- في: بمعنى مضروبة
- إشتقاق الثاني: بمعنى إشتقاق Cosx وهو Sinx-
- زائد: +
- الثاني: Cosx
- في: مضروبة
- إشتقاق الأول: بمعنى إشتقاق Sinx وهو Cosx
والآن بعد تفصيل القاعدة وتطبيقها على الدوال المضروبة في بعض, لنعيد كتابة القاعدة بشكل كامل مع الجواب, شاهد الصورة التالية "عند الخطوة رقم 1":
لاحظ بعد تطبيق القاعدة "ماقبل الخطوة الأخيرة" وجدنا ان Sinx مضروبة في Sinx- وبالتالي بما انها مضروبة تصبح النتيجة بعد الضرب تساوي Sin2x-, اما بالنسبة لـ Cosx فهي مضروبة في Cosx وبالتالي بما انها مضروبة تصبح النتيجة بعد الضرب تساوي Cos2x.
بعد ان تم إشتقاق الدوال المضروبة في بعض , لننتقل الآن لإشتقاق الدالة الكسرية بإستخدام قاعدة"Quotient role", قبل تطبيق القاعدة يجب اولا تسمية البسط والمقام كالآتي:
- ضع رمزا لقيمة البسط كاملة وليكن رمزها هو U, بمعنى أن U تساوي X2 + 1
- ضع رمزا لقيمة المقام كاملة وليكن رمزها V, بمعنى أن V تساوي X3 + 2
بعد الإنتهاء من تسمية البسط والمقام, لنبدأ الآن بتطبيق قاعدة "Quotient role", واللتي يمكن اختصارها بالأسلوب الآتي:
(إشتقاق الأول في الثاني - الأول في إشتقاق الثاني) مقسومة على الثاني تربيع
- إشتقاق الأول: بمعنى إشتقاق البسط U اللتي تساوي X2 + 1 , ماهو إشتقاقها؟
الجواب: إشتقاق X2, يتم تنزيل الأس 2 الى جانب X ولكن بشرط: يجب ان يتم طرح 1 من قيمة الأس 2 أولا قبل التنزيل, بمعنى لا نستطيع تنزيل الأس 2 الى جانب X الا اذا تم تحقيق شرط الطرح
اذن (2 - 1 = 1), والآن بعد تنفيذ شرط الطرح اصبح بإمكاننا تنزيل الأس 2 الى جانب X, واصبحت قيمة الأس الجديدة بعد الطرح تساوي 1, وبالتالي إشتقاق X2 يساوي 2X "لاحظ ان الأس يساوي 1, وعادة الرقم 1 لايكتب"
بعد الإنتهاء من إشتقاق X2, لننتقل إلى إشتقاق الرقم 1, في علم التفاضل, إشتقاق اي رقم يساوي صفر, وبالتالي إشتقاق الرقم 1 يساوي 0.
والآن لنكمل القاعدة:
- في: مضروبة
- الثاني: المقصود بالثاني هو الرمز الآخر V واللتي تساوي X3 + 2
- ناقص: -
- الأول : المقصود بالأول هو الرمز U واللتي تساوي X2 + 1
- في: مضروبة
- إشتقاق الثاني: بمعنى إشتقاق المقام V اللتي تساوي X3 + 2, ماهو إشتقاقها؟
الجواب: 3X2, ولكن كيف؟
أولا يتم تنزيل الأس3 الى جانب X ولكن بشرط: يجب ان يتم طرح 1 من قيمة الأس 3 لكي يتم التنزيل
اذن (3 - 1 = 2), بعد تنفيذ شرح الطرح بإمكننا الآن تنزيل الأس 3 واصبحت قيمة الأس بعد الطرح تساوي 2, وبالتالي إشتقاق X3 يساوي 3X2.
بعد إشتقاق X3, لننتقل لإشتقاق الرقم 2, في علم التفاضل, إشتقاق اي رقم يساوي صفر, وبالتالي إشتقاق الرقم 2 يساوي 0.
لنكمل القاعدة:
- مقسومة على الثاني تربيع: بمعنى ماسبق ذكره من القاعدة جميعها مقسومة على الثاني وهو الرمز V تربيع, بمعنى يتم رفع درجة القوى أو الأس بمقدار 2 لـ V
شاهد الصورة التالية "عند الخطوة الثانية":
لاحظ بالنسبة لآخر خطوة من تطبيق القاعدة, للحصول على V تربيع, كل ماعليك فعله هو وضع محتوى V بين قوسين مرفوعة بالأس 2 كما موضح في الصورة أعلاه.
والآن بعد تطبيق القاعدتين الخاصة بالدوال المضروبة في بعض, والدوال الكسرية, لننتقل الآن الى الخطوة الأخيرة بكتابة الحل النهائي لهذا المثال, شاهد الصورة التالية "عند الخطوة الثالثة":
تعليقات
إرسال تعليق