مثال: حساب جميع القوى المؤثرة على العارضة

 

المطلوب في هذا المثال هو إيجاد جميع القوى المؤثرة على العارضة, قبل ان نبدأ في الحل يجب علينا أولا قراءة واستنتاج العارضة والقوى المؤثرة عليها:

تحتوي العارضة على قوى معلومة قيمتها 40kN كما موضح في الصورة أعلاه, بالإضافة الى أن نوع هذه العارضة هي Simply supported beam, سبب تسمية هذه العارضة بهذا المصطلح لأن العارضة مدعمة بنوعين مختلفين من Support reactions وهما:

- Pin Support ------> المقصود به تلك الدعامة الموجودة عند النقطة A على شكل مثلث

- Roller Support ----> المقصود به تلك الدعامة الموجودة عند النقطة B على شكل دائرة

وبالتالي تصبح هذه العارضة تسمى بإسم Simply supported beam.

ولكن هل هذه العارضة تحتوي فقط على قوة مؤثرة واحدة عليها؟

الجواب: لا, صحيح هنالك قوى معلومة قيمتها 40kN, ولكن هنالك قوى مؤثرة مجهولة تأتي من الدعامات المثبتة على طرفي العارضة تحديدا عند النقطتين A و B, بمعنى أن الدعامة Pin support و Roller support تحتوي على قوى تؤثر على العارضة ولكن هذه القوى مجهولة وغير معلومة, وبالتالي نحن مطالبين بحساب هذه القوى لأن هذا المثال يطلب مننا حساب جميع القوى المؤثرة على العارضة.

والآن لنبدأ:

عند حساب القوى المؤثرة على العارضة, يجب علينا أولا إعادة رسم العارضة بصيغة Free body diagram وإختصارها FBD, ميزة هذه الصيغة او الخطوة الأولى عند حساب جميع القوى المؤثرة على العارضة أنها تظهر جميع القوى المعلومة والمجهولة على العارضة, وطالما أنها تظهر حتى  المجهولة ذلك يعني أن هذه الصيغة سوف تظهر جميع القوى اللتي تأتي من الدعامات وتوضح كل دعامة تحتوي على كم مقدار من القوى تؤثر على العارضة, ايضا هذه الصيغة توضح تفاصيل مسافة كل قوى مؤثرة على العارضة "بمعنى مقدار مسافة القوى بينها وبين بداية او نهاية العارضة او بين القوى وبين نقطة معينة مثل A او B", اذن رسم العارضة بصيغة FBD مهمة جدا وتعتبر اولى الخطوات لحساب جميع القوى المؤثرة على العارضة, شاهد الصورة التالية:

لاحظ في هذه الخطوة أننا قمنا بإعادة رسم العارضة بصيغة FBD, اللتي أظهرت الآتي:

- الدعامة Pin support الموجودة عند النقطة A, تنتج قوتين مجهولة: قوى عمودية وهي Ay, وقوى أفقية وهي Ax

- الدعامة Roller support الموجودة عند النقطة B, تنتج قوة واحدة فقط مجهولة: وهي قوى عمودية By

(تذكر دائما الإختلاف بين الدعامتين السابقتين ليس فقط في الشكل, بل حتى في إنتاجها للقوى, حيث Pin support دائما تنتج قوتين, اما Roller support دائما تنتج قوى واحدة فقط)

- تفاصيل مسافات القوى المؤثرة على العارضة سواء المعلومة او المجهولة, لاحظ ان المسافات بصيغة FBD اصبحت اكثر دقة, حيث كانت المسافة قبل هذه الصيغة كلية للعارضة بمعنى طول العارضة بشكل كامل, ولكن بسبب تأثير القوى 40kN بمنتصف العارضة,قمنا بتقسيم طول العارضة وهي 6m الى نصفين 3m +3m, وبالتالي اصبحت بهذا الشكل اكثر دقة لأنها سوف تساعدنا كثيرا في حساب القوى المجهولة المؤثرة على العارضة.

والآن بعد الإنتهاء من الخطوة الأولى وهي إعادة رسم العارضة بصيغة FBD, لننتقل الآن الى الخطوة الثانية وهي إيجاد قيم القوى المجهولة المؤثرة على العارضة:

كما تلاحظون في الصورة أعلاه, هنالك قوى عمودية وقوى أفقية, وبالتالي هنالك قوى على محور y ومحور x, وعليه سوف نتعامل مع كل محور على حدى, لنبدأ الآن بحساب جميع القوى المؤثرة على العارضة الأفقية, بمعنى جميع القوى الواقعة على محور x, شاهد الصورة التالية"عند الخطوة الثانية":

لاحظ في الخطوة الثانية, هنالك صيغة توضح أننا سوف نحسب جميع القوى الأفقية المؤثرة على العارضة, ولكن كيف نكتب هذه الصيغة؟

أولاً يجب عليك إفتراض إشارة القوى الأفقية وهي تعتمد على افتراضك لإتجاه هذه القوى واللتي من خلالها تستطيع إستنتاج إشارتها, لك حرية الإفتراض

لنفترض أن القوى المتجهة نحو الجهة اليمنى هي قوى موجبة وان القوى المتجهة نحو الجهة اليسرى هي قوى سالبة

(لاحظ أننا لم نتعامل مع جهة عمودية سواء الأعلى ام الأسفل لأننا نتعامل مع محور x وهو محور أفقي وبالتالي سنتعامل مع جهتين فقط: يمنى ويسرى)

لاحظ في الصورة أعلاه عند الخطوة الثانية اننا قمنا بكتابة افتراضنا وهو إشارة السهم المتجه لليمين وفوقه إشارة + ومعناه أنه افترضنا جميع القوى الأفقية على محور x اللتي تكون متجهة نحو الجهة اليمنى تكون قوى موجبة

(من المهم جدا كتابة هذا الإفتراض قبل حساب القوى المجهولة)

والآن بعد الإفتراض, لاحظ ان العارضة تحتوي على قوى افقية واحدة فقط Ax وهي قوى مجهولة متجهة نحو اليمين, وفي المقابل لا يوجد اي قوى معلومة أفقية, وبالتالي كما تشاهد في الصورة أعلاه في الخطوة الثانية أن القوى الأفقية Ax تساوي 0

لنوضح أكثر كيف اصبحت قيمة Ax تساوي 0 , لاحظ في الصورة حينما افترضنا تحديدا بعد السهم مباشرة سوف تجد هذه الصيغة:

ΣFx = o اليس كذلك؟

والآن في مكان ΣFx سوف تضع جميع القوى المؤثرة على العارضة الأفقية فقط, وكما موضح في الصورة أعلاه يوجد لدينا فقط قوى افقية واحدة وهي Ax

جيد والآن ضع Ax في مكان ΣFx تصبح:

Ax=0, وهي قيمة القوى المجهولة Ax  كما موضح في الصورة أعلاه في الخطوة الثانية.

والآن بعد حساب القوى المؤثرة الأفقية المجهولة على العارضة, لننتقل لحساب القوى المؤثرة العمودية المجهولة على العارضة وطالما اننا نتحدث عن قوى عمودية, اذن سوف نتعامل مع محور y, لكن قبل حساب القوى العمودية يجب علينا أولا ماذا؟

الجواب: افتراض القوى الموجبة, لنتفرض ان القوى المتجهة نحو الأعلى هي قوى موجبة واي قوى متجهة نحو الأسفل تكون قوى سالبة, (مرة اخرى تذكر: افتراضنا هنا عن جهتين فقط: أعلى وأسفل لأننا نتعامل مع محور y العمودي فقط)

والآن حسب ما هو موضح في الصورة تحتوي العارضة على ثلاث قوى عمودية:

- القوى المعلومة 40kN متجهة نحو الأسفل " إشارة سالبة"

- القوى المجهولة Ay متجهة نحو الأعلى "إشارة موجبة"

- القوى المجهولة By متجهة نحو الأعلى "إشارة موجبة"

والآن لنكتب صيغة إفتراضنا كبداية حل لحساب جميع القوى العمودية كما فعلنا حينما قمنا بحساب القوى الأفقية, شاهد الصورة التالية"عند الخطوة الثالثة":

لاحظ اننا بدأنا في الخطوة الثالثة بتوضيح افتراضنا من حيث السهم المتجه للأعلى وبجانبه إشارة + واللتي توضح أن جميع القوى المتجهة للأعلى هي قوى موجبة, ثم بعد ذلك قمنا بكتابة جميع القوى العمودية وبدأنا من الجهة اليسرى, حيث أن Ay متجهة للأعلى اذن الإشارة موجبة, والقوى 40kN متجهة نحو الأسفل اذن هي قوى سالبة, ومن ثم القوى المجهولة By متجهة للأعلى اذن الإشارة موجبة

ولكن كما نرى من خلال هذه الخطوة أننا نمتلك قوتين مجهولتين وبالتالي لا نستطيع حسابهم بهذه الطريقة او من خلال هذه المعادلة, اذن ماهو الحل؟

الجواب: في هذه الحالة طالما اننا نتملك مجهولين في المعادلة, سوف نقوم بالإنتقال الى خطوة اخرى لحساب احد هاتين القوتين المجهولة عن طريق أخذ المومنت"Moment" عند احد النقطتين A او B

 لماذا تحديدا عند A او B؟

الجواب:اذا قلت أنك سوف تأخذ المومنت عند نقطة اخرى غير A و B, على سبيل المثال قلت انك سوف تأخذ المومنت في المنتصف في مكان وقوع القوى 40 وسميتها على سبيل المثال نقطة C وتريد أخذ المومنت من هذه النقطة, هنا سوف تواجهك مشكلة بحيث انك لن تستطيع حساب واحدة من القوى المجهولة وسوف تصل كما وصلنا نحن في الخطوة الثانية بالحصول على مجهولين اثنين

اذن لماذا في حالة اننا اخذنا المومنت عند A و B نستطيع حساب واحدة من القيم المجهولة عكس اذا اخذنا عند النقطة C اللتي افترضنا انها نقطة تقع بمنتصف العارضة؟

الجواب: لأنه اذا اخذت المومنت عند اي نقطة تقع عليها القوى, يمنع ان تضاف او تكتب هذه القوى في معادلة المومنت, فعلى سبيل المثال اذا اخذنا المومنت عند النقطة A, ركز في الصورة التالية هل هنالك قوى تقع عند النقطة A؟

الجواب: نعم, هنالك قوتين Ax و Ay, اليس كذلك؟

جيد وبالتالي حينما نقوم بكتابة معادلة المومنت ونحسب القوى المجهولة, لن نضيف او نكتب القوتين Ax وAy في المعادلة لأنها تقع بنفس النقطة اللتي اخذنا منها المومنت"لذلك قمت بتغيير لون السهم الخاص بالقوتين باللون الأصفر لكي نبين لك ان هاتين القوتين لن تضاف في معادلة المومنت لأننا سنأخذ المومنت عند النقطة A وهي نفس النقطة اللتي تقع عليها هاتين القوتين".

والآن قبل كتابة معادلة المومنت يجب أن ناخذ معلومات عن المومنت قبل الدخول في التفاصيل, كيفية كتابة معادلة المومنت؟كيف نستنتج حركة القوى وإشارتها الموجبة او السالبة والكثير من الأمور الهامة واللتي يجب معرفتها حول معادلة المومنت, اطلب منك الآن ان تركز معي لأن هذه المعلومات مهمة جدا وسوف تساعدك كثيرا, لنبدأ:

كما قلنا سابقا اننا قررنا اخذ المومنت عند النقطة A واللتي سوف تمكننا بإبعاد القوتين Ay و Ax لأنها تقع بنفس النقطة اللتي اخذنا منها المومنت, مما يعني اننا نستطيع حساب القوى المجهولة الأخرى وهي By لأنه في هذه الحالة بعد ابعاد Ay و Ax يصبح لدينا قوى مجهولة واحدة وهي By بالإضافة الى القوى المعلومة 40kN

جيد والآن دعونا نركز على القوى 40kN لأننا نريد إستنتاج اتجاه حركة القوى وإشارتها ومن ثم سنفعل الشيء نفسه مع By لأنه مهم جدا تحديد ذلك حينما نكتب معادلة المومنت.

لتحديد اتجاه حركة القوى 40kN وتحديد إشارتها, يجب علينا أولا افتراض اتجاه المومنت كما هو موضح في الصورة التالية:

لاحظ أنه في المومنت لا يوجد افتراض مبني على الجهات اليمنى واليسرى او الأعلى والأسفل, بل ان الإتجاهات في المومنت مبنية على الدوران, فهل هذا الدوران مع عقارب الساعه؟ ام عكس عقارب الساعه؟ هكذا تكون حركة الإفتراض بالنسبة للمومنت.

والآن لنفترض أن اي مومنت او قوى تتحرك عكس عقارب الساعه ستكون موجبة كما موضح في الافتراضة بالصورة اعلاه

ولكن يجب علينا اولا تحديد حركة القوى المعلومة 40kN قبل الدخول في تفاصيل معادلة المومنت

بما انه لدينا في المومنت حالتين من الحركة وهي حركة مع عقارب الساعه والحركة عكس عقارب الساعه واللتي من خلالها نستطيع توضيح اشارة القوى من حيث اذا كانت موجبة او سالبة, لنبدأ بتحديد حركة القوى 40kN وتوضيح فيما اذا كانت حركتها مع عقارب الساعه او عكس عقارب الساعه, سوف نقوم بوضع طريقة مبسطة لك لتسهيل فهم إستنتاج حركة القوى, ركز معي الآن:

لنبدأ بالقول في أن هذه القوى 40kN تتحرك مع عقارب الساعه

كما تعلم ان هذه القوى متجهة نحو الأسفل كما هو موضح في المثال اليس كذلك؟

جيد والآن حينما نقول انها ستتحرك مع عقارب الساعه معنى ذلك انها ستنتقل من جهة الأسفل الى الجهة اليسرى او من الجنوب الى الغرب, شاهد الصورة التالية:

لاحظ ان السهم الخاص بالقوى 40kN قد تغير من جهة الأسفل الى الجهة اليسرى بحركة تسمى "مع عقارب الساعة" هذه الحركة الأولية ماذا نستفيد منها؟

الجواب: من خلال اول حركة للقوى نقوم بها, يجب أن نلاحظ هل هذه القوى بعد حركتها الأولية متجهة إلى النقطة اللتي اخذنا منها المومنت وهي النقطة A ام لا؟

كما نلاحظ من خلال اول حركة وكما هو موضح بالسهم باللون الأخضر, ان القوى 40kN اصبحت متجهة الى النقطة A وبالتالي هنا نتوقف وليس هنالك حاجة في مواصلة تحريكها للمرة الثانية (وهذه نقطة مهمة يجب ان لاتنساها)

والآن لنقم بتجربة حركة القوى عكس عقارب الساعه, وكما قلنا لا نتوقف من الحركة الى ان تكون القوى موجهة للنقطة اللتي اخذنا منها المومنت وهي النقطة A, شاهد الصورة التالية :

لاحظ اننا في هذه الخطوة قمنا بتحريك القوى 40kN عكس عقارب الساعه, حيث كانت الحركة الأولية من جهة الأسفل إلى الجهة اليمنى (لاحظ في هذه الحركة الأولية أن القوى متجهة للنقطة B وليس النقطة A اللتي اخذنا منها المومنت, اذن سنواصل الحركة عكس عقارب الساعه), وكانت الحركة الثانية من الجهة اليمنى الى الجهة الأعلى, ومن ثم الحركة الثاثة من الجهة الأعلى إلى الجهة اليسرى (لاحظ ان السهم في هذه الحركة اصبح لونه أخضر ومعناه ان القوى بعد الحركة الثالثة اصبحت متجهة الى النقطة اللتي اخذنا منها المومنت وهي النقطة A), اذن هنا نستطيع التوقف بعد القيام بثلاث حركات للقوى عكس عقارب الساعة لأن القوى أصبحت متجهة نحو النقطة A.

والآن النقطة الأهم, وهي تحديد اتجاه حركة القوى, هل هي مع عقارب الساعه؟ام عكس عقارب الساعه؟

للإجابة على هذا السؤال, دعونا نطرح بعض الأسئلة اللتي سوف تساعدنا في الوصول الى الاجابة الصحيحة:

كم حركة احتجنا من خلال القيام بتحريك القوى "مع عقارب الساعه" لتصل الى النقطة A؟

الجواب: حركة واحدة فقط

كم حركة احتجنا من خلال القيام بتحريك القوى "عكس عقارب الساعه" لتصل إلى النقطة A؟

الجواب: ثلاث حركات

ماهي الحركة الأقصر؟

الجواب: مع عقارب الساعه لأننا احتجنا فقط حركة واحدة للوصول الى النقطة A

اذن من هنا نستطيع الإستنتاج النهائي حول حركة القوى 40kN حيث انها تتحرك مع عقارب الساعه لأنها الحركة الأقصر للوصول الى النقطة A (تذكر هذه النقطة جيدا إن كانت لديك مشكلة في تحديد حركة القوى لأنها سوف تساعدك كثيرا)

وبالتالي طالما انها تتحرك مع عقارب الساعه, اذن إشارتها هي سالبة لأنه افترضنا في البداية كما قلنا سابقا أن القوى اللتي تتحرك عكس عقارب الساعه تكون موجبة والقوى اللتي تتحرك مع عقارب الساعه إشارتها سالبة.

والآن لننتقل لتحديد حركة القوى المجهولة By وتحديد إشارتها بنفس الطريقة اللتي تعاملنا فيها مع القوى المعلومة 40kN:

لنبدأ الآن بتجربة الحركة "مع عقارب الساعه" بالنسبة للقوى By, شاهد الصورة التالية:

لاحظ بالنسبة للقوى المجهولة By المتجهة في الأصل إلى الأعلى, قمنا بإجراء حركة اولية "مع عقارب الساعه" حيث انتقلت من جهة الأعلى إلى الجهة اليمنى (لاحظ انه بعد الحركة الأولية أن القوى غير متجهة للنقطة A, اذن سنواصل القيام بالحركة الثانية), في الحركة الثانية انتقلت القوى المجهولة By من الجهة اليمنى إلى جهة الأسفل, ومن ثم الحركة الثالثة من جهة الأسفل إلى الجهة اليسرى ومن ثم نتوقف لماذا؟ لأنه الآن اصبحت القوى متجهة للنقطة المطلوبة وهي النقطة A اللتي اخذنا منها المومنت "السهم باللون الأخضر يوضح أن القوى اصبحت متجهة للنقطة المطلوبة"

اذن من خلال الحركة "مع عقارب الساعه" احتجنا ثلاث حركات للوصول الى النقطة A.

والآن لنقوم بتجربة الحركة "عكس عقارب الساعه" بالنسبة للقوى المجهولة By, شاهد الصورة التالية:

كما نعلم أن القوى المجهولة By في الأصل متجهة إلى الأعلى, ومن خلال الحركة الأولية "عكس عقارب الساعه" انتقلت القوى المجهولة من جهة الأعلى إلى الجهة اليسرى, لاحظ انه بعد القيام بالحركة الأولى اصبحت القوى متجهة للنقطة المطلوبة "السهم باللون الأخضر يوضح ان القوى متجهة للنقطة A"

اذن يمكننا الإستنتاج النهائي للقوى المجهولة By أنها تتحرك "عكس عقارب الساعه" لماذا؟

الجواب: لأنها الحركة الأقصر حيث قمنا بحركة واحدة فقط للوصول إلى النقطة المطلوبة A عكس الحركة "مع عقارب الساعه" واللتي احتجنا للقيام بثلاث حركات للوصول الى النقطة A, وباتالي بما انها تتحرك عكس عقارب الساعه معنى ذلك أن اشارتها موجبة لأننا افترضنا في البداية أن اي قوى تتحرك عكس عقارب الساعه تكون موجبة.

والآن بعد إستنتاج حركة القوى وإشارتها وهي نقطة مهمة جدا يجب معرفتها في معادلة المومنت, لننتقل الآن الى حساب القوى المجهولة By عن طريق معادلة المومنت, شاهد الصورة التالية "عند الخطوة الثالثة":

لاحظ في الخطوة الثالثة, بدأنا بكتابة الإفتراضة أن اي قوى متجهة عكس عقارب الساعه تكون موجبة

لنبدأ الآن من الجهة اليسرى عند النقطة A لاحظ اننا لم نستخدم القوتين Ay و Ax في معادلة المومنت لأنها تقع بنفس النقطة اللتي اخذنا منها المومنت وهي النقطة A, ومن ثم اخذنا القوى 40kN وإشارتها سالبة لماذا؟ لأنه كما استنتجنا في الخطوات السابقة انها تتحرك مع عقارب الساعة وبالتالي إشارتها سالبة ولكن لاحظ انها مضروبة في 3, لماذا؟

الجواب: في معادلة المومنت, يجب ضرب القوى في المسافة, والمسافة تكون مابين القوى والنقطة اللتي اخذنا منها المومنت وهي النقطة A (ملحوظة: يجب أن تأخذ المسافة حينما تكون القوى واقعة عليها بشكل عمودي, بمعنى لا نستطيع اخذ مسافة اخرى على سبيل المثال ارتفاع القوى 40 من النقطة A مثلا, يجب ان تكون المسافة بين النقطة A ورأس السهم, ركز على رأس السهم والنقطة A هذه هي المسافة المطلوبة), اذن المسافة تساوي 3m وتكون مضروبة في 40kN, لاحظ بعد ذلك أن By موجبة لأننا في الخطوات السابقة استنتجنا ان By تتحرك عكس عقارب الساعه وبالتالي هي موجبة ومضروبة في 6 لأن المسافة بين القوى والنقطة A تساوي 6m, وبالتالي يجب ضرب By في 6.

ومن خلال معادلة المومنت اصبح لدينا قوى مجهولة واحدة وهي By, وبالتالي نستطيع الآن إيجاد قيمتها عن طريق نقل القيم المعلومة في جهة مع تغيير الإشارة والمجاهيل في جهة لتصبح القوى By تساوي 20kN.

والآن بعد حساب القوى By واللتي تساوي 20kN, لنعود الى الخطوة الثانية بتعويض By بالقيمة اللتي تحصلنا عليها لحساب قيمة Ay, شاهد الصورة التالية:

لاحظ هنا لم نضرب القوى في المسافة عكس حينما استخدمنا معادلة المومنت, وهنا الفرق بين استخدام معادلات تحليل القوى ومعادلة المومنت وهذه نقطة من النقاط الهامة جدا اللتي يجب معرفتها.

كما هو موضح في الصورة أعلاه تم حساب جميع القوى المجهولة المؤثرة على العارضة حيث أن:

Ax = 0

Ay = 20kN

By = 20kN