أمثلة متعددة حول كيفية تحديد درجة تفاضل المعادلة التفاضلية

 

في هذا المثال سوف نتعلم حول كيفية تحديد درجة المعادلة التفاضلية, هنالك صيغ للتفاضل كما أن هنالك صيغ اخرى مشابهه لصيغ التفاضل ولكن تختلف في المعنى, وبالتالي يجب علينا ان نتعلم الفرق بين صيغ التفاضل والصيغ الأخرى حتى يمكننا تحديد درجة المعادلة التفاضلية.

قبل أن نبدأ في حل هذا المثال, لابد ان نعرف صيغ التفاضل في المعادلات التفاضلية كما انها سوف تساعدك في قراءة المعادلات التفاضلية وتحديد درجة التفاضل, هنالك ثلاث صيغ للتفاضل او الإشتقاق, شاهد الصورة التالية:

(في الصورة أعلاه قدمنا لكم جميع صيغ التفاضل الثلاث وهي: 

- Leibniz notation

- Prime notation

- Dot notation

كما اضفنا لكم اربعة امثلة لكل صيغة حتى تستطيع ان تفرق مابين كل صيغة عن الأخرى , حاول ان تتقن معرفة الصيغ الثلاث لأنك بحاجتها في مادة المعادلات التفاضلية ).

والآن لنبدأ في حل المثال:

لنركز على المعادلة الأولى كما موضح في الصورة"معادلة رقم 1", تحتوي على الآتي:

- d3y / dx3 ---> تسمى هذه الصيغة بصيغة Leibniz notation, في التفاضل حينما تكتب هذه الصيغة يجب عليك كتابة رقم درجة التفاضل قبل العنصر الموجود في البسط وهو y حسب الموجود لدينا في المثال (انتبه, في حالة انك قمت بكتابة الرقم 3 بعد y وليس قبلها, لن تسمى صيغة تفاضلية ولن يكون معناه تفاضل او إشتقاق) هذه النقطة تطبق فقط على البسط من حيث يجب كتابة الرقم قبل العنصر, ولكن لاحظ في المقام الرقم 3 متواجد بعد x 

ملحوظة: حينما تكتب الرقم قبل العنصر او بعده يجب ان يكون في الأعلى , لأننا هنا نتحدث عن درجة او أس, فلايمكن كتابة الرقم بجانب العنصر مباشرة لأن ذلك لم يعد درجة أو اس فأنتبه للنقطة هذه"شاهد الصورة أعلاه ولاحظ كيف شكل الرقم سواء قبل العنصر في البسط او بعده في المقام".

- d2y / dx2 ---> لاحظ هنا ايضا نفس الصيغة الأولى ولكن تختلف في درجة التفاضل 

مامعنى درجة التفاضل؟

الجواب: معنى انك سوف تفاضل الدالة بنفس عدد مرات درجة التفاضل, وطالما ان الدرجة 2, ذلك يعني انك سوف تفاضل المعادلة مرتين واذا كانت 3 معنى ذلك انك سوف تفاضل المعادلة ثلاث مرات

- dy / dx ---> ايضا هذا رمز للتفاضل ولكن لاحظ انه لايوجد رقم مكتوب في الدرجة او الأس, مامعنى ذلك؟

الجواب: معنى ذلك ان الدرجة تساوي 1 وعادة الواحد لايكتب, وبالتالي الأس هنا يساوي 1, فعلى سبيل المثال اذا طلب منك المثال إيجاد هذا الرمز dy/dx للمعادلة, معنى ذلك انك سوف تشتق او تفاضل المعادلة مرة واحدة فقط

- 4y , ex ---> لاحظ ان هاتين القيمتين ليس لها علاقة بالصيغة التفاضلية وبالتالي حينما تود حساب درجة المعادلة التفاضلية سوف تتجاهل مثل هذه القيم لأنها ليس لها علاقة بالتفاضل, شاهد الصورة التالية :

كما نلاحظ في الصورة أعلاه, تحتوي المعادلة رقم 1 على صيغة Leibniz notation بدرجات مختلفة, وطالما أننا نريد تحديد درجة المعادلة التفاضلية فإن تركيزك يكون على اكبر درجة تفاضل تحتويها رمز التفاضل او الإشتقاق, ومن خلال معادلة رقم 1 وكما هو موضح في الصورة أعلاه فإن أعلى درجة تفاضل هي d3y / dx3 , وبالتالي درجة التفاضل الأكبر لهذه المعادلة هي 3 ويكون الجواب كما موضح في الصورة أعلاه:

3rd-Order differential equation

لننتقل الآن إلى المعادلة الثانية ونقوم بتفصيلها كما فعلنا في المعادلة الأولى, شاهد الصورة التالية:

لاحظ في المعادلة الثانية صيغة التفاضل هنا مختلفة عن المعادلة الأولى, حيث ان صيغتها تسمى Prime notation

ملحوظة: حينما تكون درجة التفاضل 4 او اكثر فأنت هنا بحاجة الى اختصار صيغة التفاضل Prime notation إلى صيغة اخرى مختصرة بوضع رقم التفاضل بين قوسين كما هو موجود في المعادلة رقم 2, حيث ان رمز التفاضل الأول درجتها 4 وبالتالي وجب وضع الرقم بين قوسين, لكن لاحظ في درجة تفاضل الرمز الثاني, هي نفس الصيغة Prime notation ولكن لأن الدرجة تساوي 3 فوجب علينا كتابتها بهذا الشكل, بمعنى عدم وضع الرقم بين قوسين"لاتنسى هذه النقطة", اما بالنسبة للعنصر الثالث الذي تم شطبه في المعادلة كما موضح بالصورة أعلاه باللون البرتقالي, فهنالك سبب هام لشطبه ماهو؟

الجواب: ركز في شكل درجة الأس, لاحظ ان الرقم لم يكن موجود بين قوسين بل اكتفى بكتابة الرقم 6 من دون قوسين, ما معنى ذلك؟

سوف اوضح لك ذلك من خلال مثال بسيط:

لنقل ان هنالك معادلة وهي:

y = x + 1

وحينما اقول لك اوجد حل المعادلة بإستخدام نفس الصيغة المشطوب عليها باللون البرتغالي وهي y6 "بغض النظر عن الرقم الذي بجانب y وهو 4" , يكون الجواب هو :

y6 = (x + 1 )^6

معنى ذلك انك سوف تجعل المعادلة مرفوعة بالأس 6 فقط, وليس إشتقاق او تفاضل المعادلة 6 مرات لأن هذا ليس له علاقة بصيغ التفاضل وليس من صيغة Prime notation رغم التشابه الا ان الاختلاف هو في درجة الأس الموجود من دون قوسين وبالتالي ليس من صيغة Prime وبالتالي ليس له علاقة بالتفاضل, وفي حالة انك تريد تحديد درجة التفاضل فسوف تشطب هذا الرمز من ذهنك كما فعلنا في الصورة أعلاه, وبالتالي تصبح الإجابة النهائية للمعادلة رقم 2 كما هو موضح في الصورة:

4th-Order Differential equation

لننتقل الآن إلى المعادلة الأخيرة وهي المعادلة رقم 3, شاهد الصورة التالية:

لاحظ أن في المعادلة رقم 3 يوجد صيغة تفاضل واحدة فقط وهي Leibniz notation , ولكن لماذا الجواب النهائي كما هو موضح في الصورة يساوي 2, بمعنى ان درجة تفاضل المعادلة رقم 3 هي 2 وليس 4 ؟

الجواب: لأن الصيغة اللتي ظهرت عليه (dA/dt) مرفوعة بالأس 4 ليس معناه ان درجة التفاضل يساوي 4, لانه لايوجد في صيغ الــ Leibniz notation ان هنالك درجة تفاضل تكون بهذا الشكل, اذن ماذا تعني درجة الأس 4 ؟

الجواب: سوف اقدم لك مثال بسيط, افرض ان لدينا معادلة وهي :

A = t + 1

وحينما اقول لك اوجد (dA/dt) مرفوعة بالأس 4, يكون جوابك كالآتي:

اولا تقوم بإشتقاق المعادلة مرة واحدة, بمعنى توجد dA/dt فقط بدون الأس 4, فيكون الجواب كالآتي:

dA/dt = 1

ثانيا: هنا الآن تستخدم الأس 4 فيكون الجواب كالتالي:

(dA/dt) مرفوعة بالأس 4 = 1^4 ---> بمعنى 1 مرفوع بالأس 4 وبالتالي يساوي 1

بمعنى آخر, انك سوف تشتق المعادلة مرة واحدة ومن ثم بعد ذلك الإجابة اللتي تتحصل عليها من الإشتقاق او التفاضل ترفعها بالأس 4, يعني أن الأس هنا لم تأتي بمعنى درجة التفاضل (انتبه لهذه النقطة جيدا)

اذن جواب المعادلة رقم 3 كما هو موضح في الصورة أعلاه: 

2nd-Order

ملحوظة: لاحظ العنصر المشطوب عليه باللون البرتقالي وهو A, هذا العنصر تم شطبه لأنه ليس له علاقة بصيغ التفاضل وبالتالي هو عنصر عادي ولا يتم حسابه حينما نريد تحديد درجة تفاضل المعادلة.