في هذا المثال سوف نتعلم كيفية إشتقاق او تفاضل الدالة اللتي تحتوي على دالتين مضروبة في بعض احدهما دالة من الدوال المثلثية وهي Sinx, والأخرى دالة جذرية وتحتوي على 2x + 1, هيا بنا لنبدأ:
لاحظ ان الدالتين مضروبة في بعض, بمعنى أن Sinx ملاصقة للدالة الجذرية وبالتالي مضروبة فيها, اذن هنا وجب علينا استخدام قاعدة "Product role" لإيجاد إشتقاق او تفاضل هذه المعادلة, ولكن ماذا تنص القاعدة؟
تنص القاعدة الخاصة بالدوال المضروبة في بعض كالآتي:
الدالة الأولى في إشتقاق الدالة الثانية + الدالة الثانية في إشتقاق الدالة الأولى
بصيغة اخرى:
الدالة الأولى مضروبة في إشتقاق الدالة الثانية + الدالة الثانية مضروبة في إشتقاق الدالة الأولى
والآن لنطبق هذه القاعدة خطوة بخطوة:
- الدالة الأولى ----> المقصود به هو Sinx, تكتب دون عمل أي إشتقاق لها
- مضروبة في ----> إشارة ضرب (×)
- إشتقاق الدالة الثانية ---> المقصود بالدالة الثانية هي الدالة الجذرية وهي جذر 2x + 1, ولكن ماهو إشتقاقها؟
الجواب: أولا سوف نجري عملية اعادة صياغة للدالة الجذرية حتى تبدو لك سهلة للإشتقاق او التفاضل, هل هنالك صيغة أخرى لهذه الدالة الجذرية؟
الجواب:نعم, كاللآتي:
جذر 2x + 1 ----> صيغة اخرى ---> (2x + 1 )مرفوعة بالأس 0.5
شاهد الصورة التالية:
كما نلاحظ في الصورة أعلاه, ان الدالة الجذرية يمكن كتابتها بصيغة اخرى لجعل الدالة تبدو سهلة اكثر للتفاضل او الإشتقاق, حيث اصبحت بعد كتابتها بصيغة اخرى: (2x + 1 ) مرفوعة بالأس 0.5
والآن لنجري عملية التفاضل لهذه الدالة:
حينما نجري عملية التفاضل لدالة موجودة بين قوسين ومرفوعة بدرجة قوى او أس برقم معين, فإن هنالك اسلوب خاص لتفاضل هذه الدالة, يمكن اختصارها كالآتي:
نزول الأس----> مضروب في-----> الدالة -----> مضروب في ----->إشتقاق الدالة
والآن لنطبق هذا الأسلوب على هذه الدالة الجذرية اللتي قمنا بتحوليها إلى دالة أسية, اولا المقصود بنزول الأس وهو اننا سنبدأ بتنزيل الأس اولا ولكن بشرط: ليكتمل التنزيل لابد اولا من طرح 1 من قيمة الأس 0.5
وبالتالي (0.5 - 1 = 0.5-), بعد اتمام عملية الطرح بإمكاننا تنزيل الأس 0.5 وتكون مضروبة في الدالة (2x + 1) مرفوعة بالأس الجديد بعد الطرح والذي يساوي 0.5-, مضروبة في إشتقاق الدالة
ماهو إشتقاق الدالة (2x + 1)
الجواب: 2
اذن لنعيد كتابة الأسلوب الخاص لإشتقاق هذه الدالة الأسية مع كتابة الجواب كامل:
نزول الأس----> مضروب في-----> الدالة -----> مضروب في ----->إشتقاق الدالة
0.5 -----> × --------> (2x + 1)مرفوعة بالأس 0.5- ------> × --------------> اثنين"2"
والآن بعد إشتقاق هذه الدالة, لنكمل تطبيق قاعدة الدوال المضروبة في بعض:
- زائد ----> +
- الدالة الثانية -----> جذر 2x + 1, تكتب كما هي دون اجراء اي إشتقاق اوتفاضل للدالة
- مضروبة في -------> إشارة ضرب "×"
- إشتقاق الدالة الأولى ------> المقصود بالدالة الأولى هو sinx, وإشتقاقها هو Cosx
والآن شاهد الصورة التالية:
لاحظ هنا باللون الأزرق, قمنا بتطبيق قاعدة الدوال المضروبة في بعض كما شرحناها في الخطوات السابقة وتحصلنا على هذا الجواب
ملاحظة: بعد تطبيق القاعدة تكون قد انتهيت من حل المثال, ولكن تستطيع تبسيط الحل بشكل افضل
لاحظ اننا هنا قمنا بشطب الرقم 2 كل الدوال "ماقبل إشارة + مضروبة في بعض وبالتالي نستطيع التبسيط بشطب الرقم 2 لأنهم مضروبين في بعض واحدهما في المقام والآخر بجانبه ولكن طالما انهم مضروبين في بعض يصبح الرقم 2 الذي في الجانب الأيمن ينتقل الى البسط, وبالتالي هنا وجب شطب الرقمين معاً, شاهد الصورة التالية:
لاحظ هنا بعد تبسيط المعادلة في الخطوة الثانية باللون الأزرق, لوحظ ان الدالة الأسية 2x + 1 مرفوعة بأس سالب قيمته 0.5, للتبسيط اكثر نستطيع التخلص من الإشارة السالبة بوضع الدالة كاملة في الأسفل, لأن الدالة اذا تم نقلها من الأعلى الى الأسفل او من البسط الى المقام فلابد من تغيير إشارة الأس, وطالما انها سالبة حينما كانت في الأعلى او في البسط فإنه مع التغيير ونزول الدالة في المقام تصبح الإشارة موجبة, وبالتالي نستطيع كتابتها بهذه الصيغة كما هو موضح بالصورة في الخطوة الثالثة باللون الأزرق.
يمكننا التبسيط ايضاً اكثر بإعادة صياغة الدالة الأسية الموجودة في المقام وهي (2x + 1) مرفوعة بالأس 0.5, هل يمكننا حقا تغيير صياغتها؟
الجواب: بالتأكيد نعم تذكر في بداية المثال كيف كانت شكل الدالة, لقد كانت دالة جذرية وقمنا بتحويلة الى دالة اسية لتسهيل عملية اجراء التفاضل عليها, والآن سوف نقوم بإعادة صياغتها الأولى, بما انها دالة اسية سوف نقوم بتغييرها الآن الى دالة جذرية, وبالتالي يكون الحل النهائي لهذا المثال مع التبسيط كما هو موضح في الصورة التالية:
تعليقات
إرسال تعليق