في هذا المثال سوف نتعلم كيفية تكامل احد الدوال المثلثية مثل Cosx وكيفية تكامل احد المجاهيل مثل X وكيفية تكامل رقم معلوم كالعدد 5, اذن هيا بنا لنبدأ الحل :
أولاً يجب قراءة المثال جيدا واستنتاجه قبل البدء بالحل, لاحظ ان الفاصل بين كل من Cosx وX4 و 5 هو اشارة +
ولكن ماذا يعني ذلك؟
اشارة + مثل اشارة - في المهمة او الوظيفة, حيث انه في التكامل وايضا في التفاضل لابد من فصل كل طرف او كل قيمة بشكل مستقل, بمعنى انك تجري عملية التكامل لــ Cosx بشكل مستقل ومن ثم تنتقل لإجراء عملية التكامل لــ X4 ومن ثم للعدد 5 بشكل مستقل, وهذا استنتاج مهم جدا قبل البدء في حل المثال.
لنبدأ الآن بتكامل Cosx, هل تعلم ماهو تكامل Cosx؟ ام انك تعاني من مشكلة في تكامل اهم الدوال المثلثية مثل Sine و Cos؟ , لاتقلق , انظر الى الصورة اللتي ارفقتها لك , شاهد هذا الرسم المبسط وحاول ان تفهم هذه العلاقة جيدا وقم بتدريب نفسك بالتكرار حتى لاتنساها , خذ الأمور دائما ببساطة ولاتعقدها.
كما نلاحظ في الصورة من خلال هذا الرسم المبسط الذي يوضح طريقة التفاضل والتكامل بالنسبة لأحد الدوال المثلثية مثل Sine و Cos, والآن لنواصل حل هذه المسألة:
تكامل Cosx هو Sinx , كما موضح في الصورة هذا يعني اننا انتقلنا للأعلى بعد ان كن عند Cos وبالتكامل انتقلنا الى Sine
اذن مرة أخرى تكامل Cosx هو Sinx .
بعد الإنتهاء من عملية تكامل Cosx, ننتقل الآن لإجراء عملية التكامل بالنسبة لـ X4, يختلف تكامل المجاهيل مثل X عن الدوال المثلثية مثل Sine, يجب أولا استنتاج امرا هاما قبل اجراء التكامل للمتغير X4, ولكن ماهو هذا الاستنتاج؟
يجب اولا النظر الى المثال, سوف نكامل بأي متغير بالضبط بالنسبة لـ X4, بمعنى هل سنضيف X لــ X4؟ ام سنضيف متغير آخر لــ X4؟
انظر للمثال مرة آخرى وراقب الرمز "dx" , ما دور هذا الرمز تحديدا؟
انه يخبرنا ان التكامل سيجرى بالنسبة للمتغير X4, بمعنى انك ستضيف X في كل طرف تجري عليه عملية التكامل, وهذا بالطبع استنتاج مهم جدا لأنه قد تواجهك بعض الأمثلة تحتوي على متغيرات مثل X ولكن قد تشاهد رمز مختلف كــ dr مثلا, ماذا يعني ذلك؟
ذلك يعني انك ستضيف r بالنسبة لــ X ...وهكذا
لنعود الآن لتكملة الحل, سوف نجري الآن عملية التكامل على X4, لاحظ ان الأس الخاص بـ X4 يساوي أربعة, وبالتالي بعد اجراء عملية التكامل "بإضافة X" لــ X4, ما الذي يحدث؟
بعد اضافة X للمتغير X4الموجود في المثال ذلك يعني انها ستكون مضروبة في X4, وفي حالة ضرب المجاهيل بنفس النوع, اقصد بنفس النوع يعني كلهم يكونو X او كلهم يكونو اي متغير آخر ومهما اختلفت درجة القوى او تساوت, في حال كانوا نفس النوع مثل مايحدث الآن, في حالة الضرب يجب جمع الأسس" تذكر ذلك جيدا"
اعيد مرة أخرى, في حالة ضرب المجاهيل بنفس النوع يجب جمع الأسس.
اذن: X مضروبة في X4 ---> اجمع الأسس ( 4 + 1 = 5 )
هذا يعني ان الأس بالنسبة لــ X4 بعد الإضافة تغيرت من 4 الى 5 , ولإكتمال عملية هذا التكامل لابد من تقسيم X5 على نفس قيمة الأس "بعد الإضافة".
ذلك يعني: تكامل X4 يساوي X5/5.
يجب بعد اضافة X للمتغير X4وجمع الأسس ان تقسم على نفس عدد الأس بعد الإضافة "تذكر بعد الاضافة وليس قبل".
لننتقل الآن لتكامل الرقم 5 بعد الإنتهاء من تكامل X4, ولاننسى قبل اجراء عملية التكامل ان نستنتج موضوع سنكامل بالنسبة لأي متغير بالضبط؟
طالما رمز dx موجود في المثال, ذلك يعني اننا سنكامل بالنسبة لــ X (يعني راح نضيف X), وباتالي تكامل الرقم 5 سيكون كالآتي:
- اضافة X للرقم 5, بمعنى ستكون X مضروبة في 5 بعد الإضافة
- X ضرب 5 يساوي 5X
هل انتهى التكامل؟ لا لم ينتهي, لاتنسى انه بعد الاضافة يجب ان نقسم بنفس عدد الأس اليس كذلك؟
ممتاز, والآن ماهو عدد الأس بالنسبة لــ 5X (ركز في الأس الخاص بـX), الأس يساوي 1 وبالتالي نقسم 5X على 1 سوف يكون الناتج نفسه 5X لذلك لم يحدث تغيير بعد القسمة (ولكن يجب ان لاتنسى انه بعد الاضافة لابد ان نقسم بنفس درجة الأس بعد الاضافة)
اذن الجواب النهائي لهذا المثال بشكل كامل يساوي كما موضح في الصورة:
Sinx + X5/5 + 5X + C
ملحوظة: يجب اضافة الرمز C بعد الإنتهاء من التكامل لأن هذا التكامل غير محدود وبالتالي يجب اضافة C بعد الإنتهاء من التكامل.
تعليقات
إرسال تعليق