المطلوب في هذا التمرين هو إيجاد التفاضل او الإشتقاق لكل دالة على حدى.
نلاحظ أن اغلب الدوال ظهرت على هيئة رقم مرفوع بدرجة قوى او أس معين مجهول او عبارة عن دالة تحديدا في الفقرتين a,b بالإضافة الى جزء من الفقرة c.
هنالك قاعدة معينة لإجراء عملية التفاضل او الإشتقاق لهذا النوع من الدوال, قبل البدء سوف اقوم بالتوضيح اولا حول القاعدة اللتي ينبغي معرفتها قبل الدخول في تفاصيل خطوات الحل, شاهد الصورة التالية:
لقد عملت على توضيح كافة التفاصيل المرتبطة بمفاهيم هذه القاعدة, كل ماعليك فعله حينما تواجهك دالة بهذا النوع ويطلب منك إجراء عملية التفاضل او الإشتقاق, في هذه الحالة ستستخدم مباشرةً هذه القاعدة لتتحصل على الجواب النهائي.
لاحظ أن المقصود بالرمز a كما هو موضح في الصورة أعلاه باللون الأزرق هو عبارة عن أي رقم ولكن هذا الرقم يجب أن يكون اكبر من صفر, ولكن لماذا يجب أن يكون اكبر من صفر؟ لماذا لا يساوي صفر؟ او لماذا لا يكون الرقم عبارة عن رقم سالب؟
الجواب: لأن القاعدة تتطلب إستخدام Ln الذي قمت بتمييزه لك باللون الأحمر, لاحظ أن محتوى Ln هو a باللون الأزرق اليس كذلك؟
جيد, انتبه لهذه النقطة جيدا وهي أساس من الأساسيات الهامة اللتي ينبغي معرفتها:
لاتستطيع إضافة الرقم صفر او أي رقم سالب في محتوى الــ Ln لأنه حينما تقوم بحساب هذه القيمة فقط وكان محتوى الــ Ln يساوي 0 او أي ارقام سالبة فإن الناتج النهائي يصبح غير معرف "Error"
(قم بإستخدام الآلة الحاسبة الآن للتأكد من ذلك, سوف تكتشف انه حينما تقوم بإدخال الرمز Ln بإضافة 0 او اي ارقام سالبة فإن الناتج النهائي سيكون غير معرف "Error")
وبالتالي هذا هو السبب الرئيسي حينما قمت بالتوضيح لك في هذه الصورة أن الرمز a باللون الأزرق هو عبارة عن رقم ولكن يجب أن يكون اكبر من صفر (يجب عدم نسيان ذلك).
بالنسبة للعنصر الآخر الموجود في القاعدة وهو y باللون الأسود المقصود فيه انك ستقوم بتعويضها بالدالة المعطاة لك في التمرين مباشرة دون اجراء اي تغيير عليها.
اما بالنسبة للعنصر الأخير du/dx باللون الأخضر المقصود به هو إيجاد الإشتقاق او التفاضل للعنصر او الدالة u
ولكن, ماذا يقصد بــ u ؟
لقد قمت بتوضيح المقصود به في المستطيل الأخضر في الصورة أعلاه, ومعناه اي شكل من اشكال المعادلة, في هذه النقطة يجب عليك تحديد u اولا ومن ثم إجراء عملية الإشتقاق للدالة u لكي تتحصل على du/dx واللتي ستقوم بتعويضها في القاعدة مباشرةً.
والآن بعد توضيح مفاهيم استخدام القاعدة, لننتقل الآن للإجابة على هذا التمرين لكل فقرة على حدى:
- الخطوة الأولى: تحديد u وإجراء عملية التفاضل عليها للحصول على du/dx
كما هو موضح لك في الصورة أعلاه, عملت على توضيح كيفية إختيار العناصر الموجودة في القاعدة مثل u و a بإستخدام القاعدة لكي أجعل هذه النقطة الهامة تبدوا اوضح لك.
بعد تحديد u وإجراء عملية الإشتقاق عليها تكون بذلك قد تحصلت على du/dx, مما يمكنك الآن الإنتقال الى الخطوة الثانية والتعويض مباشرةً في القاعدة
- الخطوة الثانية: التعويض المباشر في القاعدة
قم بالتعويض مباشرة في القاعدة بعد الحصول على العناصر المطلوبة لتتحصل بذلك على الجواب النهائي لهذه الفقرة
تنويه: في الخطوة الثانية كما ترى كلا الإجابتين صحيحة, ولكن دائما يفضل التبسيط قدر الإمكان مع الأخذ بعين الإعتبار ان الرقم 1 عادةً في عالم الرياضيات او الحساب حينما يكون مضروب في عنصر مجهول فإنه لايكتب
لننتقل الآن الى الفقرة الثانية:
- الخطوة الأولى: تحديد u ومن ثم إجراء عملية الإشتقاق عليها لكي تتحصل على du/dx
الغرض من هذه الخطوة هي للحصول على du/dx لأنها ضمن متطلبات القاعدة "شاهد العنصر الأخير في القاعدة باللون الأخضر", وبالتالي يجب إيجاد هذا العنصر اولا وهي مهمة الخطوة الأولى
- الخطوة الثانية: التعويض مباشرةً في القاعدة بعد الحصول على العناصر المطلوبة
كل ماعليك فعله هو التعويض المباشر في القاعدة لتتحصل على الإجابة النهائية للفقرة b
لننتقل الى الفقرة الأخيرة C:
لقد تعمدت على إضافة هذه الفقرة لأن هدفي هو تقوية أساسياتك في الإشتقاق بالإضافة الى إستنتاج الفرق بين نوعيات الدوال اللتي قد تواجهك
لاحظ في هذه الفقرة, لدينا معادلة تحتوي على عنصرين مجهولين يفصل بينهما إشارة الزائد " + "
ماذا تعني هذه الإشارة في علم التفاضل او الإشتقاق؟
الجواب: إشارة الزائد " + " أو إشارة الطرح " - " لديهم معنى واحد في علم التفاضل او الإشتقاق وهو أنه ستجري عملية الإشتقاق لكل عنصر بشكل مستقل, بمعنى ستجري عملية الإشتقاق للعنصر الموجود على الجهة اليسرى من إشارة الزائد اولا بشكل مستقل وهو x^2 ومن ثم تضع إشارة الزائد ومن ثم بعد ذلك تجري عملية الإشتقاق للعنصر الآخر بشكل مستقل
بناءً على المعادلة الموجودة لدينا في هذه الفقرة وتحديدا للعنصر الأول وهو x^2 فإن هذا النوع من الدوال لا يمكن تطبيق القاعدة اللتي استخدمناها في الفقرتين a,b على هذه الدالة, لماذا؟
الجواب: لأن هذا العنصر بدأ بعنصر مجهول وهو x مرفوع بدرجة قوى او أس برقم معين, ولكن القاعدة تطلب ان يكون العنصرعبارة عن رقم (يجب أن يكون اكبر من صفر) مرفوع بدرجة قوى او أس لعنصر مجهول او اي شكل من اشكال الدوال
وبالتالي هذه القاعدة لاتتوافق مع العنصر الأول وهو x^2
ناتج الإشتقاق بالنسبة لــ x^2 هو 2x
والآن لننتقل لإجراء عملية التفاضل للعنصر الآخر, نلاحظ ان العنصر الآخر متوافق مع القاعدة مما يعني انك ستتعامل مع هذا العنصر مثل التعامل الذي كان في الفقرتين a,b:
- تحديد u واجراء عملية التفاضل عليها للحصول على du/dx
- بعد الحصول على du/dx, قم بإستخدام القاعدة مباشرةً اللتي قمت بتوضيحها لك قبل حل هذا التمرين بالإضافة الى انني قمت بتوضيحها لك في حل الفقرتين a,b لتتحصل على الإجابة النهائية لهذه الفقرة الأخيرة C
تعليقات
إرسال تعليق