تمرين:إيجاد التفاضل او الإشتقاق للدوال المضروبة

 

المطلوب في هذا التمرين هو إيجاد التفاضل او الإشتقاق لهذه الدالة

هذه الدالة كما هو موضح في الصورة أعلاه تحتوي على دالتين مضروبة في بعض, حيث أن:

الدالة الأولى: cosx

الدالة الثانية: الجذر التكعيبي للعنصر x

في علم التفاضل او الإشتقاق لايمكن إجراء عملية الإشتقاق مباشرة لدالة تحتوي على دالتين مضروبة في بعض

اذن ما هو الحل؟

الجواب: هنالك طريقة خاصة لإشتقاق الدوال المضروبة وهي تسمى بالإنجليزية Product rule

واللتي يمكن إختصارها وتبسيطها كالآتي:

(الدالة الأولى مضروبة في "إشتقاق" الدالة الثانية + الدالة الثانية مضروبة في "إشتقاق" الدالة الأولى)

كل ماعليك فعله هو الإلتزام فقط بهذه القاعدة واللتي ستوصلك الى الإجابة النهائية لهذا التمرين

اذن لنبدأ بتوضيح ذلك في الخطوات التالية:

توضيحات من الخطوة الأولى:

- صيغ الجذر التربيعي او التكعيبي او الجذور بمختلف درجاتها, قد تشكل بطريقة ما او بأخرى صعوبة لديك في إستيعاب كيفية إشتقاقها, لذلك قمت بتبسيط الأمر عليك في الجانب الأيمن من الصورة, حيث قمت بكتابة صيغة اخرى للجذر التكعيبي, كما تلاحظ تحولت الدالة من دالة جذرية الى دالة أسية او دالة مرفوعة بدرجة قوى معينة

بما أن نوعية هذا الجذر هو جذر تكعيبي, اذن درجة الجذر هي الدرجة الثالثة, وبالتالي حينما يتم تحويلها الى دالة أسية,  مباشرة سوف تقول مرفوعة ليست بالدرجة الثالثة, بل ستقول مرفوعة بالدرجة 1/3 

(مجرد مثال: طيب واذا كان الجذر تربيعي وليس تكعيبي؟, الجواب حينما يكون تربيعي ذلك يعني ان الدرجة الجذرية هي الدرجة الثانية مما يعني حينما تقوم بتحويلها الى دالة اسية ستكون الدالة مرفوعة بالأس 1/2,, تذكر ذلك دائماً)

اذن لنكمل , اصبح شكل الدالة الآن اسهل نوعا ما لإجراء عملية الإشتقاق عليها, انصحك دائما ان كنت تعاني من صيغ الجذور, قم مباشرة بتحويلها الى دالة أسية حتى يصبح الأمر سهل عليك, حيث أن كلا الصيغتين سواء الجذرية او الأسية يحملان نفس المعنى

- كل ماعليك فعله الآن هو تطبيق القاعدة اللتي قمت بتبسيطها لك

(الدالة الأولى مضروبة في "إشتقاق" الدالة الثانية  +  الدالة الثانية مضروبة في "إشتقاق" الدالة الأولى)

مع التنويه مرة اخرى الى ان الدالة الأولى هي cosx, اما الدالة الثانية هي الجذر التكعيبي للعنصر x او بالصيغة الأخرى اللتي قمت بتوضيحها لك (الدالة الأسية للعنصر x مرفوعة بالأس 1/3)

- لاحظ في الصورة أعلاه ومن خلال الخطوة الأولى, قمت بالتوضيح لك في كيفية التطبيق بالنسبة للقاعدة الخاصة بالدوال المضروبة

هنالك جزء من الحل باللون الأحمر والسبب في ذلك هو فقط لمساعدتك في استيعاب و فهم القاعدة, حيث أن البداية بالنسبة للحل هو باللون الأزرق والمقصود فيه الدالة الأولى 

ثم ماذا؟

الدالة الأولى ستكون مضروبة في (إشتقاق الدالة الثانية) وفقا للقاعدة, إشتقاق الدالة الثانية قمت بتمييزها لك باللون الأحمر,

لنكمل القاعدة الآن, زائد "+" الدالة الثانية (قمت بتمييزها لك باللون الأزرق) مضروبة في إشتقاق الدالة الأولى (باللون الأحمر)

طريقة الإشتقاق للجزئية الأولى باللون الأحمر:

قد تكون لديك مشكلة في اجراء الإشتقاق للدالة الأسية المرفوعة بالأس 1/3, لا عليك سأحاول تبسيطها لك

اولاً: قم بتنزيل الأس 1/3 للأسفل او بجانب العنصر x ولكن ليكتمل هذا التنزيل لابد من تحقيق شرط هام وهو طرح 1 من قيمة هذا الأس "1/3" , بمعنى لايمكنك تنزيل 1/3 إن لم تطرح منه 1

وبالتالي كما هو موضح لك في هذه الصورة في الجانب الأيمن, قمت بالتوضيح لك حول السبب في تغيير قيمة الأس بعد تنزيل 1/3, حيث أنه يجب طرحه من 1 ليكتمل هذا التنزيل

بعد تنزيل 1/3, سيكون مضروب في الدالة الأسية ولكن سيكون الأس هذه المرة او درجة القوى مرفوعة بالقيمة الجديدة بعد الطرح وهو 2/3-, ومن ثم ستكون مضروبة في إشتقاق المحتوى بين القوسين (ماهو هذا المحتوى بين القوسين, هو العنصر x, اذن ستجري عملية إشتقاق للعنصر x , وإشتقاقه سيكون الرقم 1)

هذه هي الآلية او تفاصيل الإشتقاق بالنسبة للدالة الأسية المرفوعة بالأس 1/3

ثم بعد ذلك ستكمل التطبيق وفقا للقاعدة حتى تتحصل على هذه الإجابة الموضحة في الخطوة الأولى

في الخطوة الثانية سنقوم فيها بتبسيط الحل, شاهد الصورة التالية:

توضيحات من الخطوة الثانية:

- قم بتفكيك الأقواس لتبسيط الحل, حيث أن بالنسبة للجزء الأول من الحل في الخطوة الثانية تقوم بتفكيك الأقواس, ونفس الأسلوب بالنسبة للجزئية الثانية من الحل

كما تلاحظ ان هنالك إشارة سالبة في درجة القوى او الأس بالنسبة للعنصر x (هي إجابة صحيحة لامشكلة في ذلك)

ولكن إذا اردت تغيير إشارة هذا الأس او درجة القوى, كل ماعليك فعله هو قلب القيمة من بسط الى مقام او من مقام الى بسط, حسب الموجود لدينا أن هذه الدالة الأسية موجودة في البسط (لأن مقامها 1 والرقم 1 لايكتب) فحينما يتم قلبها من البسط الى المقام وبنفس الوقت تكون مضروبة في الرقم الكسري 1/3, فبالتالي كما ترى ستجد انها مضروبة في الرقم 3, بهذه الطريقة كما تلاحظ تغيرت إشارة الأس من الإشارة السالبة الى الموجبة, لتصبح بعد ذلك هي الإجابة النهائية لهذا التمرين

(ارفقت لك توضيحا في الجزء الأيمن من الحل حول هذه النقطة اللتي تتركز في كيفية تحويل إشارة درجة القوى او الأس لتقوية أساسياتك في هذا الجانب)

تنويه: لاحظ أنني قمت بكتابة الصيغة الأولى للدالة x المرفوعة بالأس 1/3 بحيث اصبحت دالة جذرية, كلا الصيغتين يحملان النفس المعنى وكلاهما صيغ صحيحة