درس من دروس مادة علم التفاضل والتكامل "Calculus", في هذه الصفحة سوف اقوم بشرح مفهوم هذا الدرس مع التطبيق بمثال سأقوم بحله مع توضيح كامل تفاصيل خطوات الحل.
لن اتطرق للجزء النظري بخصوص هذا الدرس, حيث أن كامل تركيزي على الجانب الحسابي الهام جدا, حيث ان المهمة الرئيسية المطلوبة منك من خلال هذا الدرس هو إيجاد قيمة إنحناء المنحنى وهو مايعرف بالإنجليزية Curvature of the curve.
لكي توجد هذه القيمة يتطلب منك إستخدام قاعدة رئيسية واللتي سأتطرق إليها في النقاط التالية, إستخدامك لهذه القاعدة سيتطلب منك التعامل مع التفاضل او الإشتقاق حيث أنه يجب عليك إيجاد الإشتقاق للمعادلة اللتي ستكون معطاة لك من خلال التمرين, كما انه يتطلب منك الإجادة في حساب القيم المطلقة للمعادلة المشتقة والمقصود بالقيم المطلقة للمعادلة المشتقة هو أنك ستأخذ القيم كاملة للمعادلة اللتي اجريت لها عملية الإشتقاق بحيث تضع هذه العناصر كاملة تحت الجذر التربيعي ويكون كل عنصر موجود تحت الجذر التربيعي يجب ان يكون مرفوع بالأس 2 "تربيع" وهو مايعرف بالقيم المطلقة.
كل هذه التفاصيل ستكون واضحة لك من خلال التمرين الذي سوف اقدمه لك وسأقوم ايضا بتوضيح كافة تفاصيل خطوات الحل, ولكن قبل البدء, سأقدم لك القاعدة الرئيسية اللتي سنعتمد عليها لإيجاد قيم الــ Curvature of the curve والذي يرمز له بالرمز k , شاهد الصورة التالية:
بإستخدام هذه القاعدة سوف نتمكن من إيجاد قيمة الــ Curvature of the curve
والآن لنبدأ بالتطبيق على التمرين التالي:
المطلوب من خلال هذا التمرين هو إيجاد قيمة إنحناء المنحنى "Curvature of the curve" من خلال معادلة معطاة لك في هذا التمرين.
قبل البدء بأولى خطوات الحل, سوف اقوم بقراءة المعلومات المتوفرة لدينا من خلال هذا التمرين بالإضافة الى الإحتياجات اللتي اريدها لأتمكن من الوصول الى الإجابة النهائية, الغرض من ذلك هو للتوضيح لك كيف ستكون آلية الحل وماهي المفاهيم الأساسية اللتي يجب التركيز عليها اولا وقرائتها قبل البدء بأولى خطوات الحل, شاهد الصورة التالية:
لقد عملت في هذه الصورة على التوضيح لك حول كيفية قراءة المعلومات المتوفرة لديك من خلال التمرين بالإضافة الى القاعدة وماهي العناصر اللتي ستكون بحاجة الى إيجادها اولا حتى تصل في النهاية الى الإجابة على هذا التمرين, كما هو موضح لك في هذه الصورة, بعد قراءة كل العناصر المتوفرة والعناصر اللتي ستكون بحاجة إلى إيجاد قيمتها, عملت على تقسيم خطوات الحل الى ثلاث خطوات أساسية كما هي موضحة لك في هذه الصورة:
- الخطوة الأولى: إيجاد قيمة او محتوى العنصر V, والمقصود بهذا الرمز هو المتجه او نقطة متجهة في الفراغ "Vector"
- الخطوة الثانية: إيجاد قيمة او محتوى العنصر T, والمقصود بهذا الرمز هو متجه مماس الوحدة " Unit tangent vector"
- الخطوة الثالثة: إيجاد قيمة k وهو مايعرف بقيمة إنحناء المنحنى "Curvature of the curve"
والآن لنبدأ بأولى خطوات الحل:
- إيجاد قيمة او محتوى V, كل ماعليك فعله هو إيجاد الإشتقاق او التفاضل للمعادلة المعطاة لك في التمرين
- ناتج الإشتقاق الذي ستتحصل عليه يعرف بــ V
- ارفقت لك توضيحا كاملا بخصوص كيفية إجراء الإشتقاق لهذا النوع من الدوال, حيث أن نوعية هذه الدالة تسمى بالدوال الزاوية او الدالة اللتي تحتوي على زاوية (الزاوية هي العنصر t ومعاملاتها)
طريقة الإشتقاق تكون اولا بإجراء الإشتقاق للعنصر الموجود خارج الزاوية او الذي لايطلق عليه زاوية الدالة, على سبيل المثال بالنسبة للدالة الأولى (دالة i ):
زاوية الدالة هي: 2t
العنصر الآخر او الذي لايطلق عليه زاوية الدالة: cos
اذن ستجري عملية الإشتقاق اولا للعنصر الآخر أو الذي لايطلق عليه زاوية الدالة وهو cos مضروب في الزاوية نفسها "2t" دون اي تغيير ومن ثم مضروب في إشتقاق هذه الزاوية (إشتقاق الزاوية 2t هو 2 )
نفس الفكرة او الأسلوب بالنسبة للدالة الثانية (دالة j), وبهذا تكون قد اوجدت معادلة V وهو الهدف الرئيسي من الخطوة الأولى
لننتقل الآن الى الخطوة الثانية:
- الغرض او الهدف من هذه الخطوة هي إيجاد قيمة او محتوى T
لكي نوجد هذه القيمة يجب علينا تطبيق القاعدة الخاصة بهذا العنصر حيث انه يتطلب علينا إيجاد V اولا وهذا ماتحقق بالفعل من خلال الخطوة الأولى, ولكن تبقى لنا أن نوجد القيمة المطلقة للعنصر V لماذا؟
الجواب: لأن القاعدة الخاصة بالعنصر T تطلب إيجاد القيمة المطلقة للعنصر V, وبالتالي سنستخدم القيمة النهائية اللتي اوجدناها في الخطوة الأولى وهي قيمة V ومن خلالها نجري لها اجراء القيمة المطلقة والذي يتطلب منك أن تأخذ الجذر التربيعي لكافة قيمة V بحيث أن جميع العناصر اللتي ستكون تحت هذا الجذر التربيعي مرفوعة بالأس 2 "تربيع"
- كما هو موضح لك في هذه الصورة, قم بأخذ الجذر التربعي لقيمة V
- واصل التبسيط وتوزيع التربيع بشكل صحيح لكافة العناصر كما قمت بتوضيحه لك في هذه الصورة
- قم بأخذ العامل المشترك وهو الرقم 4 الذي قمت بتمييزه لك باللون الأحمر, الغرض من ذلك لتطبيق أساس من الأساسيات الهامة واللتي ارفقتها لك في المستطيل الأزرق(جميع الصيغ الموجودة في المستطيل الأزرق تحمل نفس المعنى)
- مع التبسيط والحساب كما هو موضح لك تبين لنا ان ناتج القيمة المطلقة للعنصر V تساوي 2, مما يعني أنه يمكننا الآن تطبيق القاعدة وإيجاد قيمة T
- قم بإيجاد قيمة T بتطبيق القاعدة لتتحصل على المعادلة النهائية لهذا العنصر, وبهذا نكون قد انهينا الخطوة الثانية لننتقل مباشرة الى الخطوة الثالثة
الخطوة الثالثة والأخيرة:
- إيجاد قيمة إنحناء المنحنى وهو المطلوب من خلال هذا التمرين وهو الذي يعرف بــ Curvature of the curve والذي يرمز له بالرمز k
- لإيجاد هذه القيمة يجب النظر اولا للقاعدة الخاصة بها واللتي قمت بكتابتها لك في بداية الخطوة الثالثة باللون الأخضر, يتطلب مننا إيجاد القيمة المطلقة للعنصر V ولكن هذه القيمة اوجدناها بالفعل, اذن لامشكلة في ذلك
ولكن بالنسبة للعنصر dT/dt غير متوفرة لدينا او لم نوجد قيمتها بعد, ثم ان القاعدة تطلب مننا إيجاد القيمة المطلقة لهذا العنصر dT/dt
حسنناً, قبل إيجاد القيمة المطلقة للعنصر dT/dt, يجب علينا أن نوجد قيمة dT/dt اولاً ومن ثم ثانيا نوجد القيمة المطلقة لها اليس كذلك؟
جيد, اذن لنبدأ بإيجاد العنصر dT/dt والمقصود به إشتقاق معادلة T
كما نعلم أن معادلة T اوجدناها بالفعل من خلال الخطوة الثانية, اذن كل ماعليك فعله الآن اجراء الإشتقاق لهذه المعادلة لنتحصل على قيمة dT/dt
- لقد ارفقت لك توضيحا كاملا بخصوص إشتقاق معادلة T في هذه الصورة
- بعد إجراء عملية الإشتقاق والحصول على dT/dt, قم بإيجاد القيمة المطلقة لهذا العنصر dT/dt
- كما هو موضح لك في هذه الصورة, مع التبسيط والحساب تبين لنا أن ناتج القيمة المطلقة للعنصر dT/dt يساوي 2, مما يعني أنه الآن يمكننا تطبيق القاعدة مباشرةً لإيجاد قيمة k
- قم بتطبيق القاعدة لتتحصل على الإجابة النهائية لهذا التمرين, كما هو موضح لك في هذه الصورة أن الجواب النهائي لقيمة الـ Curvature of the curve تساوي 1
تعليقات
إرسال تعليق