أساسيات في علم التفاضل والتكامل "Calculus" , والمعادلات التفاضلية "Differential equations"

  في مادة المعادلات التفاضلية, سوف تدرس نوعين رئيسيين من المعادلات وهما: - معادلة تفاضلية عادية "Ordinary differential equations" - معادلة تفاضلية جزئية "Partial differential equations" ولكن السؤال الأهم, ماهو الفرق بين المعادلتين؟ سنوضح الفرق بين المعادلتين من خلال هذا المثال الموجود في الصورة أعلاه, يكمن الفرق بين المعادلتين في عدد المشتقات داخل المعادلة , فعلى سبيل المثال اذا كانت هنالك معادلة كالآتي: dA/dn + 2 = 0 والآن قبل ان نحدد كم عدد المشتقات, لابد ان نفرق اولاً بين العنصر الذي سيطبق عليه الإشتقاق او التفاضل وبين العنصر العادي, والآن ركز على العنصر المتواجد في البسط والذي يحتوي على dA , هذا العنصر يعتبر عنصر عادي بمعنى انه لن يتم اجراء عملية الإشتقاق او التفاضل عليه, من هو العنصر الذي سوف يجرى عليه عملية الإشتقاق؟ هو العنصر المتواجد في المقام وهو dn, هذا العنصر هو الذي سوف يجرى عليه عملية الإشتقاق لأنه متواجد في المقام. متواجد في المقام؟ هل هذا كافي لنفهم المعلومة كاملة؟, لنوضح اكثر ماذا يعني ان يكون العنصر متواجد في المقام؟ dA/dn ---> تعني ان المعادلة ب

  عارضة من نوع " simply supported beam" وهي احد أنواع العوارض, سميت بهذا المصطلح لأنها تحتوي على: 1 -  Pin support ---> (عند النقطة A " على شكل مثلث") 2 - Roller support ---> (عند النقطة B "على شكل دائرة") وهما نوعين من انواع الـ Support reactions الموجودة على طرفي العارضة عند النقطتين A و B. المطلوب في هذا المثال هو رسم "Free body diagram", المقصود بهذا المصطلح هو انه يجب إعادة رسم العارضة مع اظهار جميع القوى المؤثرة عليها واللتي تشمل القوى الناتجة من Support reactions الموجودة على طرفي العارضة عند النقتطين A و B مع اظهار كافة القوى الأخرى المؤثرة على العارضة ان وجدت وإظهار ايضا المسافات بشكل دقيق (بمعنى انه يجب اعادة رسم العارضة بشكل مفصل بحيث تظهر فيه كل العوامل المؤثرة على العارضة). والآن لنفصل هذه العارضة اولاً خطوة بخطوة قبل رسمها بشكل نهائي, لنبدأ الآن لنفصل النقطة A واللتي تحتوي على Pin support, هذه النوع يحتوي على قوتين احدهما على محور Y العمودي والآخر على محور X الأفقي, تسمية هاتين القوتين تكون كالآتي: - القوى اللتي على محور Y ---

  يطلب السؤال إيجاد تفاضل او إشتقاق دالة كسرية أو دالة تحتوي على بسط ومقام, في علم التفاضل حينما تواجه مسألة مثل هذا الشكل, دالة كسرية فيجب حينها ان تستخدم قاعدة تسمى "Quotient rule", سوف اختصر لكم هذه القاعدة بأسلوب مبسط عبارة عن خطوات كالآتي: 1 - قم بتسمية قيم البسط جميعها بحرف واحد, لنقل اسمها U, بمعني U تساوي X2 + 3 أو (U = X2 + 3). 2 -  قم بتسمية قيم المقام جميعها بحرف واحد, لنقل اسمها V, بمعنى V تساوي X + 1 أو (V = X + 1).  بعد تنفيذ هاتين الخطوتين, لننتقل الآن لتطبيق القاعدة واللتي ستكون كالآتي "باللون الأزرق" (شاهد الصورة): سنشرح هذه القاعدة بالتفصيل, اطلب منك الآن ان تركز معي: المقصود بحرف Uَ "ذو علامة فتحة من فوق الحرف" هو إشتقاق او تفاضل U وهي نفس معنى هذا الرمز "du/dx". بمعنى أن Uَ  و du/dx ---> نفس المعنى ---> تفاضل أو إشتقاق U. اما بالنسبة لما بين القوسين (X) المضروب في كل الحروف الموجودة في البسط, لها عدة معاني, سوف اختصرها لك كالآتي: Uَ مضروبة في (X) ---> هي نفسها du/dx V مضروبة في (X) --->  انتبه هنا لن تكون dv/dx, لأ

  في هذا المثال سوف نتعلم كيفية تكامل احد الدوال المثلثية مثل Cosx وكيفية تكامل احد المجاهيل مثل X وكيفية تكامل رقم معلوم كالعدد 5, اذن هيا بنا لنبدأ الحل : أولاً يجب قراءة المثال جيدا واستنتاجه قبل البدء بالحل, لاحظ ان الفاصل بين كل من Cosx وX4 و 5 هو اشارة + ولكن ماذا يعني ذلك؟  اشارة + مثل اشارة - في المهمة او الوظيفة, حيث انه في التكامل وايضا في التفاضل لابد من فصل كل طرف او كل قيمة بشكل مستقل, بمعنى انك تجري عملية التكامل لــ Cosx بشكل مستقل ومن ثم تنتقل لإجراء عملية التكامل لــ  X4 ومن ثم للعدد 5 بشكل مستقل, وهذا استنتاج مهم جدا قبل البدء في حل المثال. لنبدأ الآن بتكامل Cosx, هل تعلم ماهو تكامل Cosx؟ ام انك تعاني من مشكلة في تكامل اهم الدوال المثلثية مثل Sine و Cos؟ , لاتقلق , انظر الى الصورة اللتي ارفقتها لك , شاهد هذا الرسم المبسط وحاول ان تفهم هذه العلاقة جيدا وقم بتدريب نفسك بالتكرار حتى لاتنساها , خذ الأمور دائما ببساطة ولاتعقدها. كما نلاحظ في الصورة من خلال هذا الرسم المبسط الذي يوضح طريقة التفاضل والتكامل بالنسبة لأحد الدوال المثلثية مثل Sine و Cos, والآن لنواصل حل هذه الم

               في هذا المثال سوف نتعلم على بعض اهم الأساسيات في التكامل, هيا بنا لنبدأ : يحتوي المثال على X2 +1 dx , وقبل أن نجري عملية التكامل يجب ان نعلم اولاً ماهو المتغير الذي سوف نجري به عملية التكامل؟ ضع تركيزك على رمز "dx" هذا الرمز معناه انك ستكامل بالنسبة لــ X, وهذا استنتاج مهم جدا يجب ان تعلمه قبل اجراء عملية التكامل. فعلى سبيل المثال ان كان الرمز "dr" فهذا يعني انك ستكامل بالنسبة للمتغير r , وان كان "dt" هذا يعني انك ستكامل بالنسبة للمتغير t ...وهكذا نعود الى المثال وكما نرى ان المثال يحتوي على dx وبالتالي سنكامل بالنسبة للمتغير X "بمعنى سوف نضيف X" لكل قيمة مستقلة. لاحظ ان الفاصل بين الرقم 1 والمتغير X2 هو اشارة الــ +, ماذا يعني ذلك؟ ذلك يعني اننا سنجري عملية التكامل على كل طرف بشكل مستقل (بسبب وجود اشارة +) وبالتالي سوف نتعامل مع كل طرف بشكل مستقل, حيث أن الطرف الأيسر يحتوي على X2 والطرف الأيمن يحتوي على 1. لنبدأ الآن بالطرف الأيسر "X2" ونجري عليه عملية التكامل, كما قلنا في بداية كلامنا اننا سوف نكامل بالنسبة للمتغير X وذ

  في هذه الصورة توضيح لإشتقاق او تكامل Sine و Cos وهما عاملين مهمين ورئيسيين"احد الدوال المثلثية" يجب معرفتهما لدراسة علم التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية. ملحوظة: - اذا تريد اشتقاق Cos- , فإن الناتج هو Sine+ بمعنى انك ستعود من حيث بدأت من خلال هذا الرسم المبسط والموضح في الصورة. - اذا تريد تكامل Sine+, فإن الناتج هو Cos-, بمعنى انك ستنتقل من الأعلى الى الأسفل وتواصل عملية التكامل كما هو موضح في الصورة حاول ان تتقن هاتين العمليتين جيدا لأنها ستفيدك كثيرا في مواد ال Calculus و Deferential equations