أساسيات في علم التفاضل والتكامل "Calculus" , والمعادلات التفاضلية "Differential equations"

 تحديد المعادلات الخطية من المعادلات التفاضلية سنتعلم في هذا الدرس حول الأساسيات في تحديد المعادلات الخطية (تعرف بالإنجليزية Linear equation) من المعادلات التفاضلية, ولتحديد ذلك يجب ان نتعلم أولا عن العناصر التابعة والعناصر المستقلة اللتي تكون موجودة في المعادلة التفاضلية, ولكن ماهي العناصر التابعة وماهي العناصر المستقلة؟ الجواب: العناصر التابعة (تعرف بالإنجليزية dependent variable): هي العناصر اللتي لايجرى عليها عملية الإشتقاق, فعلى سبيل المثال : y = x + 1 افرض انني قلت لك اوجد إشتقاق هذه المعادلة بصيغة dy/dx, والآن من هو العنصر التابع هنا او من هو العنصر الذي يطلق عليه dependent variable؟ الجواب: y, لأن من خلال الصيغة dy/dx, لوحظ ان رمز dy موجود في البسط وهذا معناه ان الإشتقاق سيكون بالنسبة لــ X فقط, لانستطيع تفاضل y, ولكن سنفاضل المتغير x لأن x موجودة في المقام اذن نستطيع الآن إستنتاج أن العنصر التابع هو العنصر الذي لا يجرى عليه عملية التفاضل او الإشتقاق ملحوظة: يجب أن لاتنسى ان هنالك ثلاث انواع من رموز التفاضل, بمعنى ليس شرطا ان اقول لك اوجد تفاضل dy/dx, استطيع ان اقول لك اوجد...

  في هذا المثال سوف نتعلم كيفية إشتقاق او تفاضل الدالة اللتي تحتوي على دالتين مضروبة في بعض احدهما دالة من الدوال المثلثية وهي Sinx, والأخرى دالة جذرية وتحتوي على 2x + 1, هيا بنا لنبدأ: لاحظ ان الدالتين مضروبة في بعض, بمعنى أن Sinx ملاصقة للدالة الجذرية وبالتالي مضروبة فيها, اذن هنا وجب علينا استخدام قاعدة "Product role" لإيجاد إشتقاق او تفاضل هذه المعادلة, ولكن ماذا تنص القاعدة؟ تنص القاعدة الخاصة بالدوال المضروبة في بعض كالآتي: الدالة الأولى في إشتقاق الدالة الثانية + الدالة الثانية في إشتقاق الدالة الأولى بصيغة اخرى: الدالة الأولى مضروبة في إشتقاق الدالة الثانية + الدالة الثانية مضروبة في إشتقاق الدالة الأولى والآن لنطبق هذه القاعدة خطوة بخطوة: - الدالة الأولى ----> المقصود به هو Sinx, تكتب دون عمل أي إشتقاق لها  - مضروبة في ----> إشارة ضرب ( ×) - إشتقاق الدالة الثانية ---> المقصود بالدالة الثانية هي الدالة الجذرية وهي جذر 2x + 1, ولكن ماهو إشتقاقها؟ الجواب: أولا سوف نجري عملية اعادة صياغة للدالة الجذرية حتى تبدو لك سهلة للإشتقاق او التفاضل, هل هنالك صيغة أخرى لهذ...

  في هذا المثال سوف نتعلم حول كيفية تحديد درجة المعادلة التفاضلية, هنالك صيغ للتفاضل كما أن هنالك صيغ اخرى مشابهه لصيغ التفاضل ولكن تختلف في المعنى, وبالتالي يجب علينا ان نتعلم الفرق بين صيغ التفاضل والصيغ الأخرى حتى يمكننا تحديد درجة المعادلة التفاضلية. قبل أن نبدأ في حل هذا المثال, لابد ان نعرف صيغ التفاضل في المعادلات التفاضلية كما انها سوف تساعدك في قراءة المعادلات التفاضلية وتحديد درجة التفاضل, هنالك ثلاث صيغ للتفاضل او الإشتقاق, شاهد الصورة التالية: (في الصورة أعلاه قدمنا لكم جميع صيغ التفاضل الثلاث وهي:  - Leibniz notation - Prime notation - Dot notation كما اضفنا لكم اربعة امثلة لكل صيغة حتى تستطيع ان تفرق مابين كل صيغة عن الأخرى , حاول ان تتقن معرفة الصيغ الثلاث لأنك بحاجتها في مادة المعادلات التفاضلية ). والآن لنبدأ في حل المثال: لنركز على المعادلة الأولى كما موضح في الصورة"معادلة رقم 1", تحتوي على الآتي: - d3y / dx3 ---> تسمى هذه الصيغة بصيغة Leibniz notation, في التفاضل حينما تكتب هذه الصيغة يجب عليك كتابة رقم درجة التفاضل قبل العنصر الموجود في البسط وهو y حسب ...

  المطلوب في هذا المثال هو إيجاد جميع القوى المؤثرة على العارضة, قبل ان نبدأ في الحل يجب علينا أولا قراءة واستنتاج العارضة والقوى المؤثرة عليها: تحتوي العارضة على قوى معلومة قيمتها 40kN كما موضح في الصورة أعلاه, بالإضافة الى أن نوع هذه العارضة هي Simply supported beam, سبب تسمية هذه العارضة بهذا المصطلح لأن العارضة مدعمة بنوعين مختلفين من Support reactions وهما: - Pin Support ------> المقصود به تلك الدعامة الموجودة عند النقطة A على شكل مثلث - Roller Support ----> المقصود به تلك الدعامة الموجودة عند النقطة B على شكل دائرة وبالتالي تصبح هذه العارضة تسمى بإسم Simply supported beam. ولكن هل هذه العارضة تحتوي فقط على قوة مؤثرة واحدة عليها؟ الجواب: لا, صحيح هنالك قوى معلومة قيمتها 40kN, ولكن هنالك قوى مؤثرة مجهولة تأتي من الدعامات المثبتة على طرفي العارضة تحديدا عند النقطتين A و B, بمعنى أن الدعامة Pin support و Roller support تحتوي على قوى تؤثر على العارضة ولكن هذه القوى مجهولة وغير معلومة, وبالتالي نحن مطالبين بحساب هذه القوى لأن هذا المثال يطلب مننا حساب جميع القوى المؤثرة على ا...

  سنركز في هذا المثال على كيفية قراءة القوى F في حالة أننا نريد أخذ المومنت "Moment" عند النقطة A, كيف ستكون قرائتنا لهذه القوى تحديدا كيف ستكون إشارتها "موجبة ولا سالبة" وهي احد ابرز الخطوات الهامة في تحليل الإنشائات او في مواد اخرى ترتبط بتحليل القوى. قبل أن ابدأ, اريد التوضيح على اننا سوف نركز فقط على القوى F وكيف ستكون إشارتها حينما نأخذ المومنت عند النقطة A, (بمعنى لا نريد ان نأخذ جميع القوى المؤثرة على العارضة), لأن هدفنا فقط هو كيفية قراءة القوى حينما نأخذ المومنت بالطريقة الصحيحة لأنها نقطة هامة جدا, لنبدأ: سوف نأخذ المومنت عند النقطة A, وتركيزنا فقط على القوى F, هل ستكون موجبة؟أم سالبة؟ لتحديد ذلك , يجب أولا أن نفترض ان أي قوى تتحرك عكس عقارب الساعه لتصل الى النقطة اللتي اخذنا منها المومنت ستكون موجبة " بإمكانك افتراض العكس", ولكن كيف يتم ذلك؟ شاهد الصورة في الأعلى, تخيل انك واقف في نقطة A "بحكم أنك سوف تأخذ المومنت عند A" , والآن ركز على السهم الخاص بالقوى F لاحظ أن السهم موجه للأسفل بمعنى ان القوى متجهة للأسفل ولكن انت بالنسبة للقوى مت...

  يطلب المثال إيجاد التفاضل لدالة تحتوي على دالتين مضروبة في بعض + تحتوي على دالة كسرية. في علم التفاضل, هنالك قاعدة خاصة للدوال المضروبة في بعض وتسمى" Product role ", كما أن هنالك قاعدة خاصة بالدوال الكسرية وتسمى " Quotient role ", وبالتالي لحل هذا المثال لابد من تطبيق هاتين القاعدتين للوصول الى الحل النهائي. لنتعرف أولا على قاعدة الدوال المضروبة في بعض " Product role ", واللتي يمكن اختصارها بالأسلوب الآتي: الأول في إشتقاق الثاني + الثاني في إشتقاق الأول  ملحوظة: كلمة (في) تعني مضروبة, بمعني الأول مضروب في الثاني + الثاني مضروب في الأول  حينما نتحدث عن هذه القاعدة تحديدا فنحن هنا نتحدث عن دوال مضروبة في بعض, انظر الى المثال, حدد من هم الدوال المضروبة في بعض؟ الجواب: SinxCosx بعد تحديد الدوال المضروبة في بعض, لنبدأ في إشتقاقها بتطبيق القاعدة الخاصة بها : الأول في إشتقاق الثاني + الثاني في إشتقاق الأول  - الأول: Sinx - في: بمعنى مضروبة - إشتقاق الثاني: بمعنى إشتقاق Cosx وهو Sinx- - زائد: + - الثاني: Cosx - في: مضروبة - إشتقاق الأول: بمعنى إشتقاق Sinx وهو Co...

  في هذا المثال سوف نتعلم حول أساسيات تحليل القوى مابين قوى على محور X الأفقي و محور Y العمودي. يطلب السؤال إيجاد القوى P العمودية الواقعة على منتصف العارضة بمسافة 2 متر من النقطتين A و B, وايضاً إيجاد القوى S الأفقية الواقعة عند النقطة B. كما نلاحظ ان كلا القواتين تختلف من حيث شكل وقوعها على العارضة بحيث ان احد القوى عمودية والأخرى أفقية, بناء على مبدأ تحليل القوى وإيجاد هاتين القوتين سوف نحسب قيمة كل قوى على حدى, وسوف نعمل كالآتي: - الخطوة الأولى: لنبدأ بإيجاد القوى S الأفقية, كما نعلم انها قوى واقعة على محور X لأنها قوى افقية وبالتالي لإيجاد قيمتها سوف نحسب جميع القوى الواقعة على محور X فقط, والآن لنبدأ: ΣFx = 0<--+--- يجب كتابة هذه الصيغة أولا قبل ايجاد قيمة S, لماذا؟ الجواب: بدون كتابة هذا الرمز فذلك يعني انك تقول سوف توجد قيمة S بأخذ جميع القوى على العارضة سواء الافقية او العمودية وهذا خطأ, لكن بهذا الرمز انت تؤكد الان انك سوف توجد قيمة S عن طريق اخذ جميع القوى الأفقية على العارضة فقط وهذا هو الصواب, اما بالنسبة للسهم واشارة الـ+, فهي مهمة ايضا لأنه يجب ان تضع افتراض ولك ا...

  في هذا المثال سوف نتعلم كيفية إشتقاق او تفاضل دالة تحتوي على جذر تربيعي, ربما البعض لا يشعر بشعور جيد حينما يرى دالة داخل جذر تربيعي ويعتقد ان الموضوع معقد او صعب. أريد ان اقول لك اطمأن فالأمر اسهل مما تتصور, ليس اسلوب الحل صعب وانما قد تكون المعلومة لم تصل إليك بعد او لم تصل بالطريقة اللتي تناسبك, على اي حال انا متفائل ان مشكلتك هذه سوف اقوم بحلها ان شاء الله, والآن لنبدأ: تحتوي الدالة اللتي تسمى y على جذر تربيعي لــ X2 + 1, قبل التفكير في اشتقاق او تفاضل الدالة الجذرية, اولا انصحك بإعادة صياغة هذه الدالة لتصبح أسهل عليك, والطريقة كالآتي: - الخطوة الأولى: مامعنى جذر تربيعي لــ X2 + 1 ؟ الجواب: أن ( X2 + 1 ) مرفوعة للأس 0.5 " بمعنى نص/نصف", شاهد الصورة التالية "عند الخطوة الأولى": لاحظ ان اعادة صياغة الجذر التربيعي لــ X2 + 1 هو وضعهم جميعهم بين قوسين مرفوع بالأس 0.5 بمعنى مرفوع بالأس نصف بمعنى أن هذه الصيغة هي نفسها الجذر التربيعي لــ X2 + 1 , نفس المعنى ولكن بإختلاف الصيغة فقط. والآن بعد اعادة صياغة هذه الدالة وتحويلها من دالة جذرية الى دالة أسية, لنبدأ الآن في ...