أساسيات في علم التفاضل والتكامل "Calculus" , والمعادلات التفاضلية "Differential equations"

  في هذه الصفحة سوف اقوم بتوضيح كافة الخطوات الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الدقيقة واللتي عملت على تقسيمها إلى خمس خطوات أساسية, ولكن قبل البدء إن كنت تود بمراجعة ما تم شرحه حول مفهوم المعادلات الدقيقة او كيفية تحديد المعادلات التفاضلية من حيث كونها معادلات تفاضلية دقيقة او غير دقيقة تفضل بالإنتقال الى الموضوع مباشرةً عبر الرابط التالي: https://assas2u.blogspot.com/2021/01/exact-equations.html

درس من دروس مادة المعادلات التفاضلية "differential equations", وهي تعني المعادلات الدقيقة.  لهذه المعادلات خطوات حل أساسية ولكن قبل الدخول في تفاصيل كافة الخطوات الأساسية, اريد التوضيح لك حول مفهوم المعادلات الدقيقة كيف تحدد المعادلة من حيث كونها معادلة دقيقة ام غير دقيقة (Exact or non-Exact equation)؟ سوف اقوم بالإجابة على هذا السؤال من خلال تقديمي لك مجموعة من التمارين واللتي سوف تساعدك في تحديد المعادلة من حيث كونها Exact أو Non exact, لنبدأ: المطلوب في هذا التمرين كما هو موضح في هذه الصورة تحديد المعادلات الآتية من حيث كونها معادلات Exact "دقيقة" او Non exact "غير دقيقة". هنالك خطوات لتحديد المعادلة سواء كانت معادلة دقيقة ام غير دقيقة, سوف اقدم لك الإجابة لكل فقرة على حدى موضحا فيها كافة الخطوات

  المطلوب في هذا التمرين هو إيجاد الحل لهذه المعادلة التفاضلية بصيغة معادلة برنولي, فكرة هذا التمرين تدور حول كيفية تحويل المعادلة التفاضلية الغير خطية بصيغة معادلة برنولي إلى معادلة تفاضلية خطية, ثم بعد ذلك تقوم بتطبيق الخطوات الأساسية الخاصة لحل المعادلات التفاضلية الخطية قبل البدء ومن باب التذكير, لقد قمت بشرح مفهوم هذا الدرس كمقدمة وتحضير لك لحل هذا التمرين في موضوع سابق تم نشره, تستطيع الإطلاع عليه عبر الرابط التالي: https://assas2u.blogspot.com/2021/01/blog-post_13.html

  درس من دروس من دروس مادة المعادلات التفاضلية "Differential equations", تدور فكرة هذا الدرس في تحويل المعادلة التفاضلية بصيغة معادلة برنولي الى معادلة تفاضلية خطية, ومن ثم يتم تطبيق الخطوات الأساسية لحل هذه المعادلة التفاضلية الخطية, حيث أن هنالك خمس خطوات أساسية لحل المعادلات التفاضلية الخطية وقد سبق أن تم شرحها في موضوع سابق, بإمكانك الإطلاع عليه عبر: https://assas2u.blogspot.com/2021/01/procedure-for-solving-linear.html كما أنني قمت بإضافة تمرينين حول تطبيق الخطوات الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الخطية, بإمكانك الإطلاع عليها ايضا: - التمرين الأول: https://assas2u.blogspot.com/2021/01/blog-post.html - التمرين الثاني: https://assas2u.blogspot.com/2021/01/blog-post_7.html

  المطلوب في هذا التمرين هو إيجاد التفاضل او الإشتقاق لكل فقرة على حدى, سوف ارفق لك الإجابات كاملة لكل فقرة موضحا فيها كافة تفاصيل الحل لنبدأ:

 في هذه الصفحة سوف اقدم لك مثالين عن التكامل, احدهما عن درس التكامل بالتعويض والآخر عن التكامل بالقسمة المطولة الهدف من هذه الأمثلة هو للتوضيح لك الفرق بين كلا الطريقتين لمساعدتك في اتخاذ القرار حول استخدام احد هاتين الطريقتين سواء التكامل بالتعويض او التكامل بالقسمة المطولة. هيا بنا لنبدأ: المطلوب من هذا التمرين هو إيجاد التكامل لكل فقرة على حدى, كما تلاحظ من خلال هاتين الفقرتين ان كلاهما عبارة عن دالة كسرية او دالة تحتوي على بسط ومقام لنبدأ بالفقرة الأولى, يجب اولا قراءة شكل الدالة ومن ثم الإستنتاج حول الآلية او الطريقة المناسبة اللتي ستستخدمها لإجراء عملية التكامل الطريقة المناسبة لإجراء عملية التكامل لهذه الفقرة هي التكامل بالتعويض, ولكن لماذا؟ الجواب: لأن البسط هو إشتقاق المقام "بغض النظر عن الأرقام الثابتة" ركز مرة اخرى على المقام, ماهو إشتقاق المقام؟ الجواب: 2x اليس كذلك؟ وبالنظر الى هذه الإجابة نجد البسط ايضا يحتوي على الإجابة نفسها "بغض النظر عن الرقم الثابت 2" اذا تحقق هذا الأمر معك مثل مانرى الآن من خلال هذه القراءة تأكد تماما انك ستستخدم التكامل بالتعويض

  المطلوب من خلال هذا التمرين هو إيجاد الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية بصيغة الحل الصريح او ما يعرف بالإنجليزية Explicit solution والمقصود بهذه الصيغة هي بجعل العنصر y وحيدا في جهة مستقلة من المعادلة مرفوعة بالأس واحد ان امكن لتصبح بالصيغة المطلوبة Explicit غير ذلك تسمى صيغة الحل بــ Implicit solution  وهي تعتبر الخطوة الخامسة من الحل او آخر خطوات حل هذا التمرين هيا بنا لنبدأ بأولى خطوات الحل: الخطوة الأولى: - التأكد فيما اذا كانت المعادلة التفاضلية المعطاة لك في التمرين مطابقة للقاعدة الأساسية ام لا نلاحظ ان المعادلة التفاضلية المعطاة مطابقة للقاعدة الأساسية, حيث أن كل العناصر متوفرة ولا يوجد عنصر زائد في المعادلة مما يستوجب عمل بعض العمليات لتحقيق التوافق او مطابقة القاعدة الأساسية اذن المعادلة التفاضلية المعطاة مطابقة للقاعدة الأساسية الخطوة الثانية: - إيجاد قيمة Mx والمقصود بــ Mx هو إيجاد الناتج النهائي من الدالة e  مرفوعة بتكامل الأس Px (لاحظ ان التكامل يختص فقط بالأس Px الخاص بالدالة e ) الناتج النهائي من هذا التكامل مع الدالة e  تكون هي قيمة Mx الخطوة الثالثة: - قم بضرب ال

في هذه الصفحة سوف اقدم لك تمرين عن درس الخطوات الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الخطية ولكن قبل البدء, إن كنت تود بمراجعة ما تم شرحه في موضوع سابق حول مفهوم آلية جميع الخطوات الخمس الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الخطية, انصحك بالإنتقال الى الموضوع الذي قدمت فيه شرح كامل حول كيفية تنفيذ الخطوات كمقدمة لك خلال الرابط المباشر التالي: https://assas2u.blogspot.com/2021/01/procedure-for-solving-linear.html

  درس من دروس مادة المعادلات التفاضلية "differential equations", سوف أركز في هذه الصفحة حول شرح مفهوم كافة الطرق الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الخطية وهي تمهيداً وتحضيراً لك للتمارين اللتي سأقوم بنشرها قريبا حول هذا الموضوع. لقد عملت على تقسيم كافة الخطوات الأساسية الى خمس خطوات جمعتهم لك في صورة واحدة بالإضافة الى بعض التوضيحات اللتي قمت بإضافتها في هذه الصورة, وسأقوم بشرح كل خطوة على حدى, لذا تابع معي وشاهد الصورة التالية: شرح الخطوات: - في الخطوة الأولى تقوم بكتابة القاعدة الأساسية, ومن ثم التأكد أن المعادلة المعطاة لك في التمرين تكون مطابقة تماما لنمط القاعدة, فإن لم تكن مطابقة للقاعدة بمعنى لم تكن بنفس اسلوب القاعدة ستقوم في هذه الحالة بإجراء بعض العمليات على المعادلة المعطاة حتى تجعلها مطابقة لنفس نمط القاعدة. المقصود بــ Px هو معامل y ( قد يكون عنصر يحتوي على x او قد يكون مجرد رقم ثابت مثل 1,2,3...الخ) المقصود بــ Qx هو نفس تعريف Px ولكن الإختلاف هنا أن Qx تكون موجودة في جهة مستقلة في المعادلة وغير مضروبة في y - في الخطوة الثانية تقوم بإيجاد Mx والمقصود به هو إيجاد

 في هذه الصفحة سوف اشرح لك مفهوم تحديد المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى من حيث كونها معادلة خطية متجانسة ام لا وهو مايعرف بالإنجليزية Linear Homogeneous Equations or Linear Non Homogeneous Equations وفقا لقاعدة أساسية سوف نتطرق إليها مع التطبيق على مثال سأوضح فيه كيفية تطبيق القاعدة وتحديد المعادلة التفاضلية الخطية من حيث كونها متجانسة ام غير متجانسة. هيا بنا لنبدأ: في الصورة أعلاه, قمت بتوضيح القاعدة الأساسية اللتي سوف نطبق عليها خطوات تحديد المعادلة التفاضلية الخطية من حيث كونها متجانسة ام لا لاحظ انه يجب ان تكون هذه القاعدة تحتوي على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى فقط, بمعنى يجب ان يكون رمز التفاضل او الإشتقاق من الدرجة الأولى مثل dy/dx  المقصود بــ Px هي أي دالة تحتوي على x ولكن هذه الدالة يجب ان تكون مضروبة في y (قد تكون دالة إكس عبارة عن رقم ثابت مثل 2,3,4 ..الخ) المقصود بــ Qx أي دالة تحتوي على x ولكن هذه الدالة يجب ان تكون في جهة مستقلة هذه هي القاعدة الأساسية, ولكن السؤال الأهم كيف نحدد المعادلة الخطية من حيث كونها متجانسة ام لا؟ الآن سوف اجاوب على هذا السؤال م

  المطلوب في هذا التمرين هو إيجاد التفاضل او الإشتقاق للفقرات الثلاث, سوف ارفق مجموعة من الصور اللتي تحتوي على الإجابات لكل فقرة مدعمة لك بتوضيح على كافة طرق الحل, والآن هيا بنا لنبدأ: التمرين الأول في هذه الفقرة يوجد لدينا دالتين مضروبة في بعض حيث أن: الدالة الأولى --> sinx -  الدالة الثانية --> 2x/x+1 ولكن بما أن الدالتين مضروبة في بعض و أحد الدوال عبارة عن بسط ومقام, بالإمكان عمل إعادة صياغة لهذه الفقرة لتبدوا اسهل لإجراء عملية التفاضل عليها, شاهد الصورة التالية: تعليمات من الصورة أعلاه: - تم عمل إعادة صياغة للفقرة مع إضافة توضيح في المستطيل الأزرق الأول, وهي بمثابة القول لجعل الدالة تبدوا اسهل لإجراء عملية التفاضل عليها - قم بتسمية البسط والمقام برموز معينة مثل u و v, حيث أن الرمز u يشمل محتوى البسط كاملاً, الرمز v يشمل محتوى المقام كاملاً - قم بتطبيق القاعدة اللتي اضفتها لك في المستطيل الأزرق الثاني وهي مختصة للدوال الكسرية او الدوال اللتي تحتوي على البسط والمقام, في الخطوة التالية سنقوم بتطبيق القاعدة تعليمات من الخطوة الأولى: - قم بإيجاد العناصر اللتي تحتاجها في القاعدة كإ

 في هذه الصفحة سوف اقدم لك تمرين إضافي حول درس التكامل بالتعويض وهو مايعرف بالإنجليزية Integration by substitution, ولكن قبل البدء إن كنت تود بمراجعة ما تم شرحه في موضوع سابق حول مفهوم هذا الدرس بالإضافة الى تطبيق مثال على ذلك, تفضل بالإنتقال مباشرةً الى الموضوع السابق عبر الرابط التالي: https://assas2u.blogspot.com/2020/12/integration-by-substitution.html

التكامل بالتعويض- Integration of substitution  احد الدروس الهامة في المواد المتعلقة بالتكامل "Calculus" والمعادلات التفاضلية "Differential equations", سنقوم في هذه الصفحة بالتركيز حول شرح مفهوم إستخدام هذا الأسلوب من التكامل والذي يعرف بــ التكامل بالتعويض (ماهو التكامل بالتعويض؟ متى يحين إستخدامه؟ ماهو الغرض منه؟)  بالإضافة الى مثال سنطبق عليه خطوات حل التكامل بالتعويض. والآن هيا بنا لنبدأ:

في هذه الصفحة سوف اقدم لك تمرين آخر عن درس Cross Product لتقوية أساسياتك بشكل اكبر في إتقان مفهوم هذا الموضوع, ولكن قبل البدء إن كنت تود بمراجعة ما تم شرحه في موضوع سابق عن مفهوم نظام Cross product مع مثال مدعم بتوضيح كافة خطوات الحل, تفضل بالإنتقال الى الرابط المباشر للموضوع السابق: https://assas2u.blogspot.com/2020/12/coss-product.html

 Cross Product أحد الدروس المهمة في المواد المتعلقة بالرياضيات او Calculus, في هذه الصفحة قمت بإضافة مثال لك حول كيفية تنفيذ عملية الضرب بإستخدام Cross بالنسبة للقيم المتجهة هدفي من خلال هذا المثال هو تقوية أساسياتك في موضوع  Cross product, سوف ارفق لك مجموعة من الصور تحتوي على المثال مع الحل الكامل خطوة بخطوة, لذا تابع معي في الصور التالية هيا بنا لنبدأ: